Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу  .

Выполним чертеж:

Основные свойства функции  :

Область определения: .

Область значений:  .

Запись   обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке   функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью одностороннихпределов:  ,  . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись   обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси   к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси  . Именно этот факт и записывается пределом  . Аналогично, запись   обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси   к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность,бесконечно близко приближаясь к оси  . Или коротко:  .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось   является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при  .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы  ,   говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности:  , то есть, если мы начнем уходить  по оси   влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близкоприближаться к оси  .

Таким образом, ось   является горизонтальной асимптотой для графика функции , если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция   является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически:  .

График функции вида  ( ) представляют собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях(см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

---

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы 

Используем поточечный метод построения, при этом, значения   выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:


Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию  , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что   – это иррациональное число:  , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции   пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции  :

Область определения:  – любое «икс».

Область значений:  . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство  , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху:  , то есть, если мы начнем уходить по оси   вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на   по оси   . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при    

Исследуем поведение функции на минус бесконечности:  . Таким образом, ось   является горизонтальной асимптотой для графика функции , если  .

Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции  ,  ,   будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку  , то есть  .Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание  . Снова пример с экспонентой   – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Принципиально так же выглядят графики функций  ,   и т. д. Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

---

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом  .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, отсылаю вас к школьным учебникам, академик Холмогоров свой хлеб все-таки не зря ест.

Основные свойства функции  :

Область определения:

Область значений:  .

Функция не ограничена сверху:  , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа:  . Таким образом, ось   является вертикальной  асимптотой для графика функции  при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании  :  ,  ,   (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай   рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде   в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция  и логарифмическая функция  – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции 

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число:  , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции  :

Данная функция является периодической с периодом  . Что это значит? Посмотрим на отрезок  . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений:  . Функция   является ограниченной:  , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке  . 
Такого не бывает:   или  , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт:  . Таким образом, если в вычислениях встретится, например,  , то 

---

минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится: 

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:
,   Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: ,  , .

Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции 

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево.
Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить).

В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции


Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения: – все действительные числа, кроме , , , … и т. д. или коротко: , где – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически:
– если мы приближаемся по оси к значению справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте .
– если мы приближаемся по оси к значению

---

слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:


Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса 


Перечислим основные свойства функции  :

Область определения: , не существует значений вроде   или 

Область значений:  , то есть,  функция   ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится:  .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса:  ,  ,  . Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.

Построим график арккосинуса 


Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности  и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой», или, строго говоря – это «функция общего вида по отношению к свойству чётности».

Построим график арктангенса 

Всего лишь перевернутая ветка тангенса.

Перечислим основные свойства функции :

Область определения: , или «множество всех действительных чисел»

Область значений: , то есть, функция ограничена.

У рассматриваемой функции есть две асимптоты: , .

Арктангенс – функция нечетная: .

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие:  , .

К графику арккотангенса   приходиться обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

---