Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

Пример 4

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения. 


Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Пример 5

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения


Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:


 (1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому   – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: 

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:


Рассмотрим второе уравнение   и подставим в него найденное выражение  :
Рассмотрим первое уравнение   и подставим в него найденные выражения   и  :

Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.

Таким образом, общее решение:


Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная   одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных  ,  ,   тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей  ,  ,   в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения   получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная  . Ломать голову не нужно.

Пусть  , тогда   – частное решение.
Пусть  , тогда   – еще одно частное решение.

Ответ: Общее решение:  , частные решения:  ,  .

---

Зря я тут вспомнил про негров, потому-что в голову полезли всякие садистские мотивы, и вспомнилась карикатура, где куклуксклановцы в своих белых балахонах бегут по футбольному полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Пример 6

Найти общее решение системы линейных уравнений. 


Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например:  . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу:  . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

И, конечно, повторюсь в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2:Решение:Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. 

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Первую и третью строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
В результате элементарных преобразований получена строка вида

---

, где, значит, система несовместна.
Ответ:решений нет.

Пример 4:Решение:Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

Для второй ступеньке нет единицы, и преобразование (2) направлено на её получение.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.
(3) Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(5)У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.

Обратный ход.
 – базисные переменные (те, которые на ступеньках), – свободные переменные (те, кому не досталось ступеньки).

Выразим базисные переменные через свободные переменные:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение:
Подставим в него найденное выражение:


Рассмотрим первое уравнение:
Подставим в него найденные выражения:  , :


Общее решение:

Найдем два частных решения
Если, то
Если, то

Ответ:Общее решение:, частные решения:,.

Проверка: подставим найденное решение (выражения базисных переменных, и) в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части, таким образом, общее решение найдено верно.

Пример 6:Решение:Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:


(1) Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку. К четвертой строке прибавляем вторую строку.
(3) Третья и четвертая строки пропорциональны, одну из них удаляем.

 – базисные переменные, – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную:










Ответ:Общее решение:

---

3. Комплексные числа

Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда


На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числа, и немного рубить в тригонометрии, впрочем, если что забылось, я напомню.

Урок состоит из следующих параграфов:
1) Понятие комплексного числа.
2) Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.
3) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
4) Возведение комплексных чисел в степень.
5) Извлечение корней из комплексных чисел.

На любой вкус и цвет – кому, что интересно. А комплексные числа действительно становятся наиболее интересной темой, после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры =). Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков».

Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой   (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

---

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число. И курить бессмысленно. … Так, кто тут улыбается? Видимо, действительно не помогло.

Комплексным числом   называется число вида  , где   и   – действительные числа,   – так называемая мнимая единица. Число   называется действительной частью ()комплексного числа  , число   называется мнимой частью () комплексного числа  .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:   или переставить мнимую единицу:   – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой   принято обозначать множество действительных чисел.Множествожекомплексных чиселпринято обозначать «жирной» или утолщенной буквой  . Поэтому на чертеже следует поставить букву  , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
 – действительная ось
 – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу   по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и  .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
,  , 
,  , 
,  ,  , 


По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

---