Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 347
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики.
2. Матрицы. Действия с матрицами
2.2. Вычисление обратной матрицы
2.3. Решение системы линейных уравнений
Алгебраическая форма комплексного числа.Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Возведение комплексных чисел в степень
Извлечение корней из комплексных чисел
4. Математические формулы и графики
Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО:
Математические формулы и таблицы
Графики и основные свойства элементарных функций
Как правильно построить координатные оси?
Графики и основные свойства элементарных функций
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
График логарифмической функции
Московский университет имени С. Ю. Витте
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
для дистанционного обучения
студентов гуманитарных специальностей
МОСКВА 2012
Авторы – составители:
Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А.
Высшая математика: Курс лекций. – М.: Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012, _516_ стр.
Научный редактор:
Курс лекций предназначен для студентов дистанционной формы обучения гуманитарных специальностей.
Печатается по решению научно-методического совета Московского университета им. С. Ю. Витте.
© Б. В. Мелкумян, Г. А. Питерцева, 2012
© Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Об авторах-составителях 7
От авторов-составителей 7
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 7
Что самое трудное в математике? 8
Нужны ли способности? 8
Что такое абстракция? 8
Не затрудняет ли абстракция изучение математики? 8
Цели и ожидаемые результаты курса 9
Связь с другими дисциплинами 9
План изучения курса 10
Понятие комплексного числа 10
График прохождения контрольных мероприятий: 11
ЛИТЕРАТУРА 11
Основной список 11
Дополнительный список 12
1. Алгебра высказываний 12
1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат 12
Определение. 12
Аксиома. Аксиоматический метод. 12
Доказательство. Теорема. 12
Особенность аксиоматического метода. 13
Основные методы доказательств. 13
Упражнения для самостоятельного анализа к Разделу 1: 14
Упражнение 1. 14
Упражнение 2. 14
Упражнение 3. 14
Упражнение 4. 14
Упражнение 5. 15
1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики. 15
Что есть высказывание. 15
Простые и составные высказывания. 15
Логические операции 16
Порядок старшинства операций 19
5. Основные законы математической логики. 20
6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам. 21
7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни. 21
Задачи для самостоятельного решения 22
1.3. Числа 23
2. Матрицы. Действия с матрицами 24
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу). 25
3) Действие третье. Транспонирование матрицы 27
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц. 28
5) Действие пятое. Умножение матриц. 29
6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы. 31
2.1. Вычисление определителей 31
2.2. Вычисление обратной матрицы 36
2.3. Решение системы линейных уравнений 42
Решение системы линейных уравнений методом подстановки 43
Пример 1 43
Пример 2 44
Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными 45
Пример 3 46
Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными 46
Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы 47
Пример 4 47
Пример 5 47
Пример 6 49
Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>> 49
Решение системы по правилу Крамера 49
Рассмотрим систему уравнений 50
Пример 7 50
Ответ: , 51
Решение системы с помощью обратной матрицы 54
Пример 11 54
Пример 12 57
Ответы: 57
Пример 3: 57
Полное решение примеров 8, 10, 12 >>> 57
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) 58
Существуют следующие элементарные преобразования: 59
Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений 60
Пример 1 61
Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. 62
В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 64
Пример 2 65
Пример 3 65
Пример 4 66
Пример 5 67
Решения и ответы: 68
Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения 70
Пример 1 70
Пример 2 71
Пример 3 72
Пример 4 76
Пример 5 76
Пример 6 79
Решения и ответы: 79
Ответ:Общее решение: 82
3. Комплексные числа 82
Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда 82
Понятие комплексного числа 83
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел 86
Сложение комплексных чисел 86
Пример 1 86
Сложить два комплексных числа , 86
Вычитание комплексных чисел 86
Пример 2 86
Умножение комплексных чисел 87
Пример 3 87
Найти произведение комплексных чисел , 87
Деление комплексных чисел 87
Пример 4 87
Пример 5 88
Пример 6 88
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа 89
Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или 89
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или 90
Пример 7 90
Таким образом, запись принимает вид: 92
Пример 8 92
Число – так: 95
Возведение комплексных чисел в степень 95
Пример 9 95
Возвести в квадрат комплексное число 95
Пример 10 95
Пример 11 96
Пример 12 96
Возвести в степень комплексные числа , , 96
Пример 13 97
Возвести в степень комплексные числа , 97
Извлечение корней из комплексных чисел 97
Пример 14 97
Решить квадратное уравнение 97
Пример 15 98
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? 98
Пример 16 98
Найти корни уравнения 98
Пример 17 99
Найти корни уравнения , где 99
По такому же алгоритму строится точка 101
Решения и ответы: 102
4. Математические формулы и графики 103
Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО: 103
Математические формулы и таблицы 106
Горячие формулы школьного курса математики 106
Калькулятор для автоматических расчетов 107
Тригонометрические формулы 107
Тригонометрические таблицы 107
Графики и свойства элементарных функций 107
Графики и основные свойства элементарных функций 107
Как правильно построить координатные оси? 108
Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. 108
Трехмерный случай 109
Графики и основные свойства элементарных функций 110
График линейной функции 110
Пример 1 110
График квадратичной, кубической функции, график многочлена 113
Пример 2 114
Таким образом, вершина находится в точке 114
Если , то ветви параболы направлены вверх. 115
Если , то ветви параболы направлены вниз. 115
Кубическая парабола 115
График функции 118
График гиперболы 120
График функции вида () представляют собой две ветви гиперболы. 121
Пример 3 121
Построить правую ветвь гиперболы 121
График показательной функции 122
График логарифмической функции 124
Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: . 124
Графики тригонометрических функций 125
Построим график функции 125
График косинуса 126
Построим график функции 126
В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает». 126
Графики тангенса и котангенса 127
Построим график функции 127
Графики обратных тригонометрических функций 129
Построим график арксинуса 129
Построим график арккосинуса 129
Арктангенс – функция нечетная: . 131
-
Об авторах-составителях
Мелкумян Баграт Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент. Читает лекции и проводит семинарские занятия в Московском университете им. С. Ю. Витте по различным разделам дисциплины «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления и юридическом. Преподает дисциплины «Базы данных», «Проектирование информационных систем», «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и «Физика» на факультете управления для специальности «Прикладная информатика в экономике» различных форм обучения. Область научных интересов связана с разработкой лазерных устройств и использованием методов математической физики в системах управления.
Питерцева Галина Александровна – кандидат технических наук, доцент, почетный профессор Московского университета им. С. Ю. Витте. Область научных интересов связана с использованием математических методов в экономике РФ. В 2006 году была награждена знаком «Отличник высшего и профессионального образования». Читает лекции и проводит семинарские занятия по дисциплине «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления, подготовительных курсах. Является автором курсов лекций и комплекса учебно-методических материалов по Математике для студентов и абитуриентов. Является разработчиком банков тестовых заданий по Математике для центра тестирования и для вступительных экзаменов.
-
От авторов-составителей
Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения. В древности областями применения математики были: землемерие, счет, торговля, архитектура и астрономия. В XVII-XVIII вв. появилась «Высшая математика» с направлениями аналитической геометрии, векторной и матричной алгебры, дифференциального исчисления, интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, и т. д. В XIX-ХХ вв. на основе математики развиваются новые дисциплины: теория информации, теория оптимального управления и математическое программирование. В XX-XXI вв., благодаря быстродействующим вычислительным машинам, в использовании математических методов произошел качественный скачок.
Математическое мышление неудержимо проникает в практику экономических и гуманитарных наук, и следует быть к этому готовым.
Эти лекции предназначены для слушателей гуманитарных специальностей, изучающих курс математики в соответствии с учебными программами Московского университета им. С. Ю. Витте. Лекции курса дополняются примерами решения задач и контрольными упражнениями, которые облегчают понимание, показывают пользу теории, а также ликвидируют общеизвестную боязнь перед математикой.
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Наш курс не отвечает на вопрос: ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт. Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Предлагаемый курс отвечает на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ?
Лекции носят сугубо практическую направленность, и при изучении той или иной темы мы даже не всегда вам расскажем, ЧТО ЭТО ТАКОЕ и не всегда дадим строгие математические определения.
Но на глобальный вопрос ответим. Один раз. Так ЗАЧЕМ ЖЕ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект, как «фитнес для ума». Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, или председателем кабинета министров, как Сергей Юльевич Витте, который имел математическое высшее образование.
Что самое трудное в математике?
Самым трудным при решении математических задач бывает правильно сформулировать вопрос. Правильно поставленный вопрос - это больше чем половина решения, часто это единственное, для чего требуется находчивость, тогда как для получения ответа требуются лишь общеизвестные способы вычисления, которыми тоже должен владеть студент. Кроме изобретения способов вычисления, математики заменили длинные описания определений короткими формулами. Математика является мощным орудием науки и техники. Изучая ее, можно увидеть, какие плоды она приносит.
Нужны ли способности?
Способности человека всегда можно распознать по одному надежному правилу: человеку интересно то, к чему он имеет способности. Нельзя отрицать, что в математике (как и во всех областях труда, науки и искусства) существует нечто непостижимое, что называется талантом. Но опыт показывает, что крупица таланта есть у каждого. Для изучения же математики не требуется никаких особых способностей, например поразительной памяти, главное - это интерес, его нужно поддержать.
Что такое абстракция?
Конкретные вещи мы видим, осязаем. Абстрактные понятия (например, свобода) требуют соответствующего определения. Нужно знать и понимать определения математических абстрактных понятий.
Попробуем разобраться, что же такое абстракция в математике. Например, само вычисление есть уже определенный вид абстракции, обычный для мышления примитивных людей, хотя они не отдают себе в этом отчета. Пастух, пересчитывающий стадо, заботится только о том, сколько овец в наличии. Ему безразлично, каковы овцы - молодые или старые, белые или черные, действует принцип «штука, как штука».
Именно в этом существо абстракции: обращаем внимание только на некоторые особенности наблюдаемых предметов, отвлекаясь (абстрагируясь) от остальных. Математика безучастна к особенным свойствам предметов и изучает только их пространственные формы (геометрия) и количественные соотношения (анализ), т.е. то, что неизменно в самых различных областях. При изучении математических объектов обнаруживается родство между явлениями, на первый взгляд, совершенно различными.
Не затрудняет ли абстракция изучение математики?
Этот вопрос обсуждается во всем мире. Некоторые ученые сомневаются, что абстрактный подход возбудит у молодых интерес к математике. Но большинство считает, что в математику лучше проникнуть через абстрактные понятия.
Основой всех современных вычислительных методов являются отвлеченные обобщения. Вначале изучают определения, затем основные отвлеченные понятия, описываемые основными положениями, которые называются аксиомами. Исходя из них, выводят (доказывают) теоремы. Таким образом, каждый раздел математики основывается на нескольких аксиомах и главных теоремах.
Цели и ожидаемые результаты курса
Цель курса – изучение основных понятий и методов высшей математики, применяемых в дальнейшем для математического моделирования и для математической и статистической обработки социально-экономической информации.
Курс высшей математики является необходимым элементом подготовки высококвалифицированного управленца