Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

–Решение системы по формулам Крамера.
–Решение системы с помощью обратной матрицы.
–Решение системы методом Гаусса.

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1

Решить систему линейных уравнений:


Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»:  . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство.Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем. Из первого уравнения выражаем:   
Полученное выражение   подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение  :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:   
Значение   нам уже известно, осталось найти: 

Ответ: 

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике или калькуляторе. Благо, делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ   в первое уравнение  :

 – получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ   во второе уравнение  :

 – получено верное равенство.

Или, если говорить проще, «всё сошлось»

---

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было  выразить  , а не  .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения   и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить   из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение.  Не так:  , и ни в коем случае не так:  .

Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных правильных и неправильных дробях.

Именно  , а не   или  !

Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если   – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий. 

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом.Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лохснизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого  метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции

---

. Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов  , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:

Справка: математический знак   обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.

Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:

Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить   или  .

Далее, выражение для   подставляем во второе и третье уравнения системы:


Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:


Третье уравнение делим на 2:


Из второго уравнения выразим   и подставим в третьей уравнение:

Практически всё готово, из третьего уравнения находим: 
Из второго уравнения: 
Из первого уравнения: 

Ответ: 

Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:

1) 
2) 
3) 

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

---

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:


Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной   одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:


Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная  . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Теперь всё просто:   – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):


В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:


Ответ: 

У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?».

Пример 5

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:


Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной  :


Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты: 

Далее:
Первое уравнение умножаем на 
Второе уравнение умножаем на 

---

В результате:


Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно:

Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.

Теперь подставляем найденное значение   в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:


Ответ: 

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной 


Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.
Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение  умножаем на 4:


Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:


Ответ: 

Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.

В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить.

Пример 6

Решить систему линейных уравнений:


Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы>>>

Решение системы по правилу Крамера

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!
Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

---