Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.
1) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
Очевидно, что   (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

Ясно, как день, обратное проверочное действие: 

2) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
Очевидно, что   (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):


3) Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .
Очевидно, что   (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:  .

Проверка: 

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что  . Формальный расчет по формуле:  .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:   (270 градусов), и, соответственно:  . Проверка: 

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:   (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что   и   – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: 

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...».  Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу  . А вот формулы для

---

нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число  . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если   (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле  .

2) Если   (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

3) Если   (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:  ,  ,  ,  .

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, точертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:

Я представлю в комплексной форме числа   и  , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку   (случай 2), то   – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение  , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
 – число   в тригонометрической форме.

Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа  . Вы убедитесь, что действительно  . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно  .

Представим в тригонометрической форме число  . Найдем его модуль и аргумент.


Поскольку   (случай 1), то   (минус 60 градусов).

Таким образом: 
 – число   в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая

---

, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол   – это в точности табличный угол   (или 300 градусов):
 – число   в исходной алгебраической форме.

Числа   и   представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в показательной форме:
, где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде  .

Например, для числа   предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:  ,  . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:  .

Число   в показательной форме будет выглядеть так: 

Число   – так: 

 И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме  .

---

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всем любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число 

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей   и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения  :


Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде  ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме  , то при его возведении в натуральную степень   справедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число  , найти  .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

 

Тогда, по формуле Муавра:


Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе  , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря,  нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет   радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе  :   оборотов, в данном случае можно убавить один оборот:  . Надеюсь всем понятно, что   и   – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:


Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
 (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя   – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число  , найти  . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

---

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа  ,  , 

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:


Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:


Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:


Пример 13

Возвести в степень комплексные числа  , 

Это пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:


Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения  ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»:  .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно:  ,  ,  ,  ,   и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

Пример 14

Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант:


Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!


По известным школьным формулам получаем два корня:

 – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение   имеет два сопряженных комплексных корня:  , 

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени   имеет ровно   корней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения   и разложить квадратный двучлен на множители.

---