Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение  , или, то же самое:  . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при   получается квадратный корень 

Уравнение вида   имеет ровно   корней  , которые можно найти по формуле:
, где   – это модуль комплексного числа  ,   – его аргумент, а параметр   принимает значения: 
Пример 16

Найти корни уравнения 

Перепишем уравнение в виде 

В данном примере  ,   , поэтому уравнение будет иметь два корня:   и  .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
, 

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа  :

Число   располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
, 

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение  , получаем первый корень:


Подставляя в формулу значение  , получаем второй корень:


Ответ:  , 

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени:  .

Пример 17

Найти корни уравнения  , где 

Сначала представим уравнение в виде  :


Если  , тогда 

Обозначим   привычной формульной буквой:  .
Таким образом, требуется найти корни уравнения 

В данном примере  , а значит, уравнение имеет ровно три корня:  ,  , 
Детализирую общую формулу:
, 

Найдем модуль и аргумент комплексного числа  :

Число   располагается во второй четверти, поэтому:


Еще раз детализирую формулу:
, 
Корень удобно сразу же упростить:


Подставляем в формулу значение   и получаем первый корень:


Подставляем в формулу значение   и получаем второй корень:


Подставляем в формулу значение   и получаем третий корень:


Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж? 
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней    и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

---

Теперь берем аргумент первого корня   и выясняем, чему равняется угол в градусах:  . Отмеряем транспортиром   и ставим на чертеже точку  .

Берем аргумент второго корня   и переводим его в градусы:  . Отмеряем транспортиром   и ставим на чертеже точку  .

По такому же алгоритму строится точка 

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом   между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Уравнения  четвертого    и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.

Для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.
Решения и ответы:
Пример 6:Решение:





Пример 8:Решение:
Представим в тригонометрической форме число. Найдем его модуль и аргумент.. Поскольку (случай 1), то. Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число. Найдем его модуль и аргумент.. Поскольку (случай 3), то. Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Пример 11:Решение:Представим число в тригонометрической форме: (это число Примера 8). Используем формулу Муавра:


Пример 13:Решение:

Пример 15:Решение:


, 
Разложим квадратный двучлен на множители:

---

4. Математические формулы и графики

Начнем разгребать математические абракадабры. Ничего страшного, даже если Вы чайник, высшая математика – это просто и доступно.

А начать нужно с повторения школьного курса математики. Повторение – мать мучения.

Прежде, чем Вы приступите к изучению наших методических материалов, да и вообще приступите к изучению любых материалов по высшей математике, НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЕМ прочитать нижеследующее.

Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО:

– Уметь складывать, вычитать, умножать и делить. Вспомнить, что любая дробь, например  , обозначает деление, «три делить на семь» в данном случае. Вспомнить, что такое квадратный корень, например: .

ЗАПАСИТЕСЬ КАЛЬКУЛЯТОРОМ, или научитесь умножать и делить многозначные числа «столбиком».


Есть? Уже хорошо.


– От перестановки слагаемых – сумма не меняется: . 

А вот это - совершенно разные вещи:

 

 

Переставлять «икс» и «четверку» просто так нельзя. Заодно вспоминаем культовую букву «икс», которая в математике обозначает неизвестную или переменную величину.

 
– От перестановки множителей – произведение не меняется:  .
С делением такой фокус не пройдет,   и   – это две совершенно разные дроби и перестановка числителя со знаменателем без последствий не обходится.
Также вспоминаем, что знак умножения («точкy») чаще всего принято не писать:  , 


– Вспоминаем правила раскрытия скобок:
 – здесь знаки у слагаемых не меняются
 – а здесь меняются на противоположные.
И для умножения:

Вообще, достаточно помнить, что ДВА МИНУСА ДАЮТ ПЛЮС

---

, а ТРИ МИНУСА – ДАЮТ МИНУС. И, постараться при решении задач по высшей математике в этом НЕ ЗАПУТАТЬСЯ (очень частая и досадная ошибка).


– Вспоминаем приведение подобных слагаемых, Вы должны хорошо понимать, что следующее действие: 

– всего лишь обычное сложение.

– Вспоминаем, что такое степень:

,  ,  ,  .

Степень - это, что дроби можно сокращать:   (сократили на 2),   (сократили на пять),   (сократили на  ).

– Вспоминаем действия с дробями:

а также, очень важное правило приведения дробей к общему знаменателю:

Если данные примеры малопонятны, смотрите школьные учебники. 
Без этого ТУГО будет.

СОВЕТ: все ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ вычисления в высшей математике лучше проводить в ОБЫКНОВЕННЫХ ПРАВИЛЬНЫХ И НЕПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЯХ, даже если будут получаться страшные дроби вроде  . Вот эту вот дробь НЕ НАДО представлять в виде  , и, тем более, НЕ НАДО делить на калькуляторе числитель на знаменатель, получая 4,334552102….

ИСКЛЮЧЕНИЕМ из правила является конечный ответ задания, вот тогда как раз лучше записать или .

– Уравнение. У него есть левая часть и правая часть. Например:


Можно перенести любое слагаемое в другую часть, сменив у него знак:
Перенесем, например, все слагаемые в левую часть:

Или в правую:


Обратите внимание, что можно безболезненно переставить части уравнения местами:
, а рАвно, как и перетасовать слагаемые в пределах ОДНОЙ части.

– Правило пропорции:
,  ,  ,  ,  ,  ,   – это одно и то же.

То, что находится внизу одной части – можно переместить наверх другой части.
То, что находится вверху одной части – можно переместить вниз другой части.

– И, наконец, стОит вспомнить о существовании некоторых функций Таких, как синус, косинус, тангенс, котангенс, логарифм. При этом в качестве аргумента функции может выступать не только буковка «хэ» (например,  ), но и сложное выражение, например  , и, рвать функцию на части категорически нельзя!

---

Не лишним будет вспомнить графики основных функций, предаться воспоминаниям можно на странице Графики и свойства элементарных функций. Там же освежаем в памяти актуальный технический вопрос –Как правильно построить график любой функции?

Вот, пожалуй, и все основные вещи школьного курса математики, которые нужно помнить. Если какие-либо моменты непонятны, или понятны смутно, отсылаю Вас к школьным учебникам по математике.
Тогда, перейдите, пожалуйста, на страницу математические формулы и таблицы. Перед решением заданий по высшей математике весьма полезно ознакомиться со справочным материалом Горячие формулы высшей математики.

---