Файл: Анастази.doc

ствующего интервала. Сумма всех частот равняется N-общему числу

случаев В табл. 1 даны результаты 1000 студентов по тесту на усвоение

кода, в котором производилась замена

искусственных слов или бессмысленных

Таблица 1 слогов из одного набора аналогичными

Частотное распределение результа- элементами ИЗ Другого набора. Значения

тов у 1000 студентов по тесту ус- первичного показателя (число правильных

воения кода (A. Anastasi, 1934, р. 34) ответов, данных испытуемым за 2 мин)

-1- уложились в пределы от.8 до 55. Этот

Классы (интервалы) Частота ДИВЛаЗОН был разбит На ИНТСрВаЛЫ ПО

jjf 1 4 очка в каждом: от 8-11 до 52-55.

48-51 1 Из колонки частот видно, что результаты

44-47 20 двух испытуемых находятся в интервале

_ между 8 и II, трех-между 12 и 15 и т.д.

з2_з5 328 Информация, содержащаяся в частот-

28-31 244 ном распределении, может быть также

24-37 136 представлена графически в виде кривой

_ распределения На рис. 1 данные из 1абл. 1

ii_ij з изображены с помощью графика. ДПо го-

8-11 2 ризонтальной оси отложены интервалы

gQ looo значений тестового показателя, а по вер-

____________________ тикальной-частота, или число случаев,

См., например: Г. В. Суходольский. Основы математической статистики для психо-

логов. Л., 1972; Дж. Гласе, Дж. Стэнли. Статистические методы в педагогике и психоло-

гии. М.. 1976: М.И. Грабарь. К. А. Краснянская. Применение математической статистики

68

ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

попадающих в каждый класс. График может строиться двумя спосо-

бами, каждый из которых достаточно распространен. На гистограмме

высота столбцов, вычерченных над каждым интервалом, соответствует

числу людей, чьи результаты попали в этот интервал (их количество

определяет высоту столбца). В полигоне частот число испытуемых

указывается точкой, расположенной над серединой интервала на высоте,

соответствующей его частоте, а сами точки последовательно соеди-

няются прямолинейными отрезками.

Если не считать незначительных отклонений, распределение, пред-

ставленное на рис. 1, напоминает колоколообразную нормальную кри-

вую. Идеальная нормальная кривая изображена на рис. 3. Этот тип кри-

вой обладает важными математическими свойствами, и на ней основаны

многие виды статистического анализа. Для наших целей, однако, важны

лишь некоторые из них. По существу эта кривая означает, что число слу-

чаев максимально в середине распределения и постепенно спадает к ее

краям. Кривая симметрична и имеет единственный пик в центре. Боль-

шинство распределений численных показателей-от роста и веса д< спо-

собностей и параметров личности-приближаются к нормальной кривой.

Вообще говоря, чем больше группа, тем ближе распределение к теорети-

ческой нормальной кривой.

Труппа тестовых показателей может быть описана в терминах той

или иной меры центральной тенденции. Такая мера указывает един-

ственный, наиболее типичный или репрезентативный результат, характе-

ризующий выполнение теста всей группой. Самой известной из таких мер

является среднее (точнее, среднеарифметическое) значение (М). Оно нахо-

Рис. 1.

340

320

300

280

260

240

220

200

180

Кривая полигона частот и гистограмма (по донным табл. 1)

69

НОРМЫ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТА

дится сложением всех результатов и делением получившейся суммы на

число случаев (N). Другой мерой центральной тенденции является мода,

или наиболее часто встречающийся результат. В частотном распределении

мода определяется как середина интервала, для которого частота макси-

мальна.Например, в табл. 1 мода находится посередине между 32 и 35,

т.е. равна 33,5. Отметим, что этот результат соответствует самой высо-

кой точке кривой распределения на рис. 1.Третья мера центральной тен-

денции-это медиана, т.е. результат, находящийся в середине последова-

тельности показателей, если их расположить в порядке возрастания или

убывания. Медиана есть точка, делящая распределение ровно пополам,

причем одна половина результатов лежит справа от нее, а другая слева.

Для более полного описания результатов теста используются меры

разброса данных, характеризующие степень индивидуальных отклонений

от центральной тенденции. Наиболее наглядным и известным способом

представления разброса является размах распределения, т. е. разность ме-

жду самым высоким и самым низким результатом. Но эта мера крайне

неточна и неустойчива, поскольку она определяется только двумя пока-

зателями. Единственный необычно высокий или низкий результат может

заметно повлиять на величину размаха. Более точный метод измерения

разброса основан на учете разности между каждым индивидуальным ре-

зультатом и средним значением по

группе.

Вгом месте следует обра-

титься к табл. 2, где приведены

расчеты рассматриваемых сейчас

мер, выполненные для 10 случаев.

Столь малая группа взята ради

наглядности, хотя на практике

вряд ли стоит выполнять подоб-

ные расчеты по столь незначитель-

ному числу случаев. В табл. 2

вводятся также принятые в статис-

тике обозначения, которые будут

использоваться и в дальнейшем.

Первичные результаты теста по

традиции обозначаются пропис-

ной буквой X, а малая буква х

служит для обозначения отклоне-

ния каждого индивидуального ре-

зультата от среднего значения по

группе. Греческая буква ? рас-

шифровывается как сумма. Сред-

нее значение и медиана опреде-

лены по данным, содержащимся

в первой колонке табл. 2. Среднее

значение равно 40, а медиана 40,5,

т.е. посередине между 40 и 41:

пять результатов (50Їо) лежат спра-

ва и пять слева от медианы. Мода

же для столь малой группы едва

ттт, м-гр-т рпт. найдена, поскольку

Таблица 2

Меры центральной тенденции и вариативности

ОтклонениеКвадрат

Значение показателяот среднегоотклонения

Ххx

,48+8 )64

\47+" 149

50>/" 43 )+209

случаев J41+1

t41+i ->1

Медиана == 40,5

40Ї 0

.438-24

J/o 36-}-20 16

случаев )34-36

32-8 )64

SX = 4001И =40 =

= 244

ZX400

М40

N10

21х1 Среднее отклонение = --- = -N40 - = 4 10

?x"244

Дисперсия-= o =N10= 24,4

Показатели

Рис. 2. Частотные распределения

с одним и тем же средним значе-

нием, но разным разбросом

ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

ный тестовый результат. Формально, од-

нако, модой является число 41, поскольку

этот результат показали два человека,

тогда как остальные результаты встре-

чаются лишь по одному разу.

Вторая колонка показывает, насколь-

ко каждый результат отклоняется в ту

или другую сторону от среднего значения

(40). Сумма этих отклонений всегда равна

нулю, так как положительные и отрица-

тельные отклонения от среднего обяза-

тельно уравновешивают друг друга ( + 20-

-20 = 0). Отбросив знаки отклонений и

усредняя их абсолютные значения, мы получаем меру, известную под

названием среднего отклонения. Символ \х\ в формуле среднего от-

клонения означает, что суммируются абсолютные значения при х.

Хотя среднее отклонение и может служить в качестве средства опи-

сания распределения, этот показатель не годится для математического

анализа данных из-за произвольного отбрасывания знаков .

П"ораздо более полезной мерой разброса является стандартное от-

клонение, обозначаемое буквой ет. .При ее вычислении отрицательные

знаки устраняются благодаря возведению каждого отклонения в ква-

драт, что видно из третьего столбца табл. 2. Сумма <J, деленная на число

?х

случаев -, известная под названием дисперсии, или среднего квадрата

отклонения , и обозначает, (г Дисперсия чрезвычайно удобна при выяс-

нении влияния различных факторов на индивидуальное выполнение те-

стовых заданий. Но в данный момент речь пойдет о стандартном откло-

нении, равном квадратному корню из дисперсии (см. табл. 2). Эта мера

широко применяется !При сравнении разбросов в различных группах. На

рис. 2, например, представлены два распределения, имеющие одно и то

же среднее значение, но отличающиеся разбросом. Распределение, харак-

теризуемое большими индивидуальными различиями, в отличие от рас-

пределений с различиями меньшими, имеет большее (7.

Как с помощью (7 можно выразить расположение индивидуальных

Пожалуй, еще важнее отсутствие у среднего отклонения многих свойств, которые

делали бы его удобным инструментом математического анализа. {Прим. ред.)

Автор применяет статистическую терминологию, следуя сложившейся в ряде дис-

циплин традиции, допускающей относительно свободную трактовку отдельных понятий

математической статистики. Согласно более строгому подходу, требующему в числе про-

чего большей дифференциации понятий, дисперсия, например, уже не является синонимом

среднего квадрата отклонения. Подобно, скажем, вероятности, она рассматривается как

идеализированная теоретическая величина, которую в принципе нельзя измерить эмпири-

ческими средствами и можно лишь косвенно оценить, считая ее приблизительно равной

некоей выборочной величине, непосредственно отражающей первичные (т.е. непреобразо-

ванные) данные опыта. К числу выборочных величин принадлежат, например, частота,

размах распределения и средний квадрат отклонения. Лучшей же выборочной характери-

стикой дисперсии (или, как еще говорят, ее несмещенной оценкой) является величина ет=

Е

= -. Хотя эта величина и отличается от среднего квадрата отклонения, все же

N - 1

в случае больших выборок (т.е. больших N), с к(уорыми, как правило, приходится иметь

дело при разработке тестов, это отличие имеет Скорее принципиальное, чем практическое

няченн "iTJnifM прЛ)

71

НОРМЫ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТА

Рис. 3. Процентное распределение случаев по нормальной кривой

результатов по различным тестам относительно нормы, показано в раз-

деле, посвященном стандартным показателям. Особенно четкой оказы-

вается интерпретация (7 применительно к нормальной или приблизитель-

но нормальной кривой распределения, ибо здесь существует прямое

соответствие между (J и относительным количеством случаев. На рис. 3

по горизонтальной оси отложены интервалы, соответствующие отклоне-

нию в 1, 2 иЗ сг вправо и влево от среднего значения М. Например, для

данных, приведенных в табл. 2, М = 40, + 1 о = 44,9 (т. е. 40 + 4,9), +

+ 2<7 = 49,8 (т. е. 40+2 x 4,9) и т. д. Процент случаев, приходящихся на

интервал между Ми +1(7, для нормального распределения равен 34,13.

Поскольку кривая симметрична, 34,13Їо случаев приходится также на ин-

тервал от М до -1(7, так что диапазон от -1(т до +1ст охватывает

68,26Їо случаев. Почти все случаи (99,72Їо) лежат в пределах + 3(7 отно-

сительно среднего значения. Эти соотношения имеют особое значение

для интерпретации обсуждаемых чуть позднее стандартных показателей

и процентилей.

ДОЗРАСТНЫЕ НОРМЫ

Юдин из способов придать смысл результатам теста-это указать, как

далеко продвинулся индивид в своем развитии) Так, можно сказать, что

8-летний ребенок, справляющийся с заданиями теста интеллекта на уров-

О нормах можно говорить только относительно конкретного <измерительного ин-

струмента>, т.е. теста, с помощью которого они были получены. При таком понимании

для получения возрастных норм необходим достаточно представительный фактический

материал. В связи с этим возникает несколько серьезных проблем, главной из которых

является проблема нормативной выборки. В настоящее время возрастные нормы, приво-

димые в интеллектуальных тестах, по существу занижены, так как представляют собой

средние результаты, установленные для сложных выборок. В эти выборки входят, хотя и

в небольшом количестве, дети с различными отклонениями в развитии (умственно от-

сталые, с речевыми нарушениями и др.), низкие результаты которых <тянут вниз> средние

показатели: средний результат для группы детей, не имеющих отклонений, будет, есте-

ственно, выше, чем для всей выборки. Что же считать возрастной нормой? Как подходить

к ее определению? Ответ на эти вопросы особенно необходим в тех случаях, когда тесты