Файл: 17.06.вкр.docx

,…,=содержатся в области.

§6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Рассмотрим постановку задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

=

где искомая вектор-функция;независимая переменная;

; ,

порядок системы;

–координаты;

.

Систему можно переписать в развернутом виде

где.

Если , то мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

=

При этом решение задачи Коши для уравнения заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и удовлетворяющую заданному начальному условиюЗадача состоит в том, чтобы найти искомую функцию, удовлетворяющуюи заданным начальным условиям.

Построение численных алгоритмов решения уравнения опирается на дескритизацию задачи. Введем в области расчетадискретный набор точек,, в которых будем вычислять приближенное решение. Точкиназываются узлами интегрирования или узлами сетки, расстояние- шагом интегрирования или шагом сетки. Сеточной обастью (сеткой) называется савокупность всех узлов. Для характеристики точности численного метода определяется погрешность приближенного решения по формуле:

где значение точного решения в узле сетки.

Существует два класса методов для решения задачи

1. семейство одношаговых методов[15];

2. семейство многошаговых (m-шаговых) методов[15].

ОпределениеЧисленный метод называется явным, если вычисление решения в следующей точке осуществляется по явной формуле.

Метод называется одношаговым, если вычисление решения в следующей точке производится с использованием только одного предыдущего значения.

В дальнейшем будем рассматривать численные методы решения задачи Коши на примере уравнения первого порядка:

§ 7.Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера, который еще называют методом ломанных Эйлера.

По оси введем равномерную сетку с шагом, т.е рассмотрим систему точек. Обозначим черезточное решение задачиа через- приближенные значения функцийв заданной системе точек.

Заменяя в уравнении производную в окрестности каждогого узла сетки разностным отношением приходим к уравнению:

Определение .Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции заменяемые исходными дифференциальными уравнениями в окрестности каждого узла сетки, называются разностными уравнениями.

Поэтому уравнение – разностное уравнение.

В окончательной форме можно определить по явной формуле

Геометрическая интерпретация метода Эйлера: интегральная кривая

на отрезкеприближается к ломанной, наклон которой определяется наклоном интегральной кривой уравнения в точке []. Рис.

Метод Эйлера относится к явным одношаговым методам. Вследствие систематического накопления ошибок метод используется редко или используется только для оценки вида интегральной кривой. Метод Эйлера называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Пример 7.1. Применяя метод Эйлера, найти решение задачи Коши в трех последовательных точках,,. Найти точное решение задачи и найти величину абсолютной погрешности в указанных точках.

Решение.

Возьмем шаг Используя расчетную формулу Эйлера, найдем приближенное решение задачи Коши:

Таким образом, получили численное решение задачи:

Графиком приближенного решения является ломанная, последовательно соединяющая точки

В этой задаче легко находится точное решение, например, методом вариации постоянной: 0.5. Вычислим значения точного решения в указанных точках.

Абсолютную погрешность вычислим так: . Тогда,,. Таким образом, максимальная величина погрешности равна

Реализация метода Эйлера с помощью системы Maxima

Зададим концы отрезка, на котором будем искать решение, и шаг:

Найдем количество точек разбиения отрезка с шагом

Сформируем два пустых одномерных массива размера для хра-

нения значения координат точек искомого решения:

Зададим начальное условие:

Заполним массив значениями, начиная сдос шагом. Для этого используем цикл с параметром.

Используя расчетную формулу Эйлера, заполним массив

Выведем полученное решение на экран:

Выполним построение ломаной Эйлера средствами пакета