Файл: 17.06.вкр.docx

Для нахождения точного решения задачи Коши воспользуемся встроенной командой Дифференциальное уравнение запомним под именем

Зададим начальное условие

Находим точное решение задачи Коши :

Вычислим значения функции в точках отрезка с шагом.

Найдем величину абсолютной погрешности:

§8.Метод Эйлера-Коши

Отличительная особенность метода Эйлера-Коши от метода Эйлера заключается в том, что значение в правой части уравнения вычисляется не только в точках сетки (шаг ), но и также в середине отрезков (шаг) (промежуточных точках).

Предположим, что промежуточное значениерешения задачи в точке

= , уже известно,вычисляются по следующим формулам:

, =

,

Отсюда вычисляют

=

Геометрическая интерпретация метода Эйлера-Коши: определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке,, а в качестве окончательного выбирается среднее из этих направлений. Метод Эйлера-Коши называют методом Рунге-Кутта второй точности.

Пример 8.1. Применяя метод Эйлера-Коши, найти решение задачи Коши в трех последовательных точках,,.

Решение.

Возьмем шаг Используя расчетную формулу Эйлера-Кошинайдем приближенное решение задачи Коши:

=1.5+0.31=1.81

1.81+0.2=1.81+0.3342=2.1442

=2.1442+0.363724=2.507924

Таким образом, получили численное решение задачи Коши:

Графиком приближенного решения является ломанная, последовательно соединяющая точки

Как видим, решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и методом Эйлера-Коши очень близки.

Реализация метода Эйлера-Коши с помощью системы Maxima.

Для решения задачи методом Эйлера сформируем еще три пустых

массива и вспомогательный массив

Зададим начальное условие:

Заполним массив x 2 значениями, начиная с 0.2 до 1 с шагом h .

Для этого используем цикл с параметром.

Теперь воспользуемся расчетной формулой Эйлера-Коши и найдем решение:

Выведем найденное решение на экран:

Выполним построение найденного решения задачи (4.1) средствами

пакета draw:

Найдем величину абсолютной погрешности:

Как видим, метод Эйлера-Коши дает более точный результат, чем метод Эйлера. Максимальная погрешность вычислений составляет 0.7%.

§ 9. Метод Рунге-Кутта

Для простоты записи вместо ,будем писать,h. Пусть r≥2 – целое положительно число и- положительные числа.

Пусть числа (s = 1, 2, . . . ,r-1; m=1, 2, . . . ,s),удовлетворяют условиям

s = 1, 2, . . . ,r

Один этап метода Рунге-Кутта (переход от к) таков.

1).Вычисляются одно за другим следующие чисел:

,

, ,

, , …

, ,…

, .

2). Вычисляется сумма произведений

3). Вычисляется по формуле

Числа ,,при заданномr выбираются так, чтобы разность

рассматриваемая как функция переменного была бесконечно малой возможно более высокого порядкаl относительно при0. Вообще говоря, этим требованиям числа,,не определяются однозначно и при выборе этих чисел принимаются во внимание также соображения о простоте формул

Приведем примеры некоторых систем таких чисел и отвечающих им значений l:

r=2, ,=, l=3;

r=2, ,=1, l=3;

r=3, , ,,=, l=4;

r=3,,,,=0,,l=4