Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

5.2. Коэффициенты ошибки системы

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням p:

Тогда – изображение ошибки может быть записано в виде:

,

следовательно,

.

Коэффициенты называютсякоэффициентами ошибки: - коэффициент ошибки по положению;- коэффициент ошибки по скорости;- коэффициент ошибки по ускорению.

Если с достаточной точностью входной сигнал (t) можно представить в виде:

,

то в разложении передаточной функции следует ограничиться конечным числом членов.

Значения коэффициентов ошибки можно вычислить различными способами, например, используя следующие выражения:

| _{p = 0;} | _{p = 0;} | _{p = 0} и т.д.

В статической системе ; в астатической системе с астатизмом первого порядка; в астатической системе с астатизмом второго порядка.

5.3. Системы комбинированного управления

Использование принципа комбинированного управления, наряду с отмеченными подходами, позволяет повысить точность САУ. В системах, построенных по этому принципу, управляющее воздействие на объект управления зависит как от ошибки регулирования, так от внешнего воздействия.

Теоретиче­ски в системах с комбинированным управлением величину установившейся ошибки можно свести к нулю при произвольном внешнем воздействии. Это свойство называется инвариантностью системы по отношению к внешнему воздействию. Поскольку внешним воздействием на систему может быть как управляющий, так и возмущающий сигнал, различают системы инвариантные по управлению и по возмущению.

Передаточная функция системы комбинированного управления по управляющему воздействию (рис. 5.3):

Ф(р) = . (5.3)

Передаточная функция этой системы без учета канала комбинированного управления (полагая W_к(р) = 0):

Ф_безКУ(р) = . (5.4)

Характеристические полиномы передаточных функций (5.3) и (5.4) совпадают, на основании чего можно сделать заключение о совпадении их полюсов. Следовательно, введение канала комбинированного управления, в отличие от рассмотренных методов, не влияет на устойчивость системы.

Передаточная функция системы комбинированного управления по ошибке:

. (5.5)

Очевидно, что в том случае, когда передаточная функции канала комбинированного управления равна:

, (5.6)

передаточная функция (5.5), а следовательно, и ошибка регулирования в системе при лю­бой форме управляющего воздействия будет равняется нулю. Такая инвариантность называется абсолютной (полной).

Рассмотрим в качестве примера систему комбинированного управления по управляющему воздействию (см. рис. 5.3), в которой

и .

Передаточная функция такой системы по ошибке равна:

. (5.7)

Рассматриваемая система – астатическая с астатизмом первого порядка.

Передаточная функция канала комбинированного управления для обеспечения полной инвариантности согласно выражению (5.6) должна быть равна:

(5.8)

где

Изображение по Лапласу сигнала на выходе звена с передаточной функциейравно:

,

и с учетом выражения (5.8) изображение сигнала в канале комбинированного управления равно:

а соответствующий ему оригинал:

Следовательно, сигнал, подаваемый в систему по каналу комбинированного управления, равен сумме двух составляющих, пропорциональных производным управляющего сигнала по времени, соответственно первого и второй порядка. Порядок передаточной функции может быть гораздо выше второго, что приведет к необходимости многократного дифференцирования управляющего сигнала.

Практическое использование принципа комбинированного управления ограничено тем, что в реальных технических САУ на полезные сигналы накладываются высокочастотные помехи. При этом выполнение операции дифференцирования приводит к увеличению уровня помех, возрастающего по мере увеличения порядка производной. Понизив порядок старшей производной до значения, приемлемого по соображениям помехоустойчивости, можно обеспечить частичную инвариантность систе­мы, что позволяет существенно уменьшить ошибку системы регулирования.

Если в рассмотренном примере ограничиться только первой производной управляющего воздействия, т.е. подавать в систему по каналу комбинированного управления сигнал

,

получим, что . При этом, в соответствии с выражением(5.5), передаточная функция системы по ошибке будет равна:

. (5.9)

На основании сравнения выражений (5.7) и (5.9) можно сделать заключение, что порядок астатизма системы увеличился с первого до второго без снижения ее устойчивости.

Передаточная функция по ошибкесистемы комбинированного управления по возмущению (рис. 5.4) имеет вид:

Ф_х(р) = . (5.10)

С целью обеспечения абсолютной инвариантности по возмущению передаточная функция звена в канале комбинированного управления должна быть равной:

. (5.11)

И в этом случае на практике ограничиваются частичной инвари­антностью, если точное удовлетворение условию вызы­вает технические трудности.

При обеспечении инвариантности по возмущению особая трудность заключается в том, что возмущаю­щие воздействия в отличие от задающих да­леко не всегда можно подать на вход . Действи­тельно, для этого нужно уметь измерять, что невсегда возможно или технически трудно реализуемо (например, усилие резания при металлообработке, величина ветровой нагрузки, действу­ющей на самолет при автоматическом регулировании курса). Существуют косвенные методы измерения, которые широко используются на практике.

Вопросы для самопроверки

1. По каким характеристикам САУ может быть осуществлена их классификация на статические и астатические?

2. Укажите, как определить порядок астатизма системы по ; поФ_х(р); по значениям коэффициентов ошибки.

3. Чему равна ошибка по скорости в астатической системе с астатизмом второго порядка?

4. Назовите основные методы, обеспечивающие повышение точности САУ.

5. Как влияет использование комбинированного управления на устойчивость САУ?

6. С чем связано ограничение, обусловливающее невозможность достижения абсолютной инвариантности системы?

6. Анализ сау в пространстве состояния

6.1. Основные положения метода переменных состояния

Рассмотрим основные положения ме­тода переменных состояния и его применение для анализа САУ. С математической точки зрения это предполагает ис­пользование методов матричного исчисления и векторного анализа. Подход, основанный на поня­тии переменных состояния системы, особенно удобен для описания многосвязных или нестационарных линейных систем, а также нелинейных систем, исследование которых с помощью методов, базирующихся на использовании передаточных функций и частотных характеристик САУ, часто бывает затруднительным. Использование математического аппарата теории матриц и матрич­ных уравнений позволяет получить основные зависимости в компактном виде, удобном для исследования систем на ЦВМ.

Основное положение метода переменных состояния заключается в следующем. Для полного математического описания динамической системы -го порядка необходимо ввести в рассмотрениенезависимых переменных состояния системы. Эти переменные должны быть выбраны так, чтобы, зная начальное состояние системыв моментt = t₀, можно было бы при известных на интервале t₀ ≤ t ≤ t₁ входных воздействиях , определить состояниев момент времени.