Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

4.2. Частотные критерии качества

Оценка динамических свойств САУ по ее переходной функции h(t) представляет собой прямой метод исследования качества регулирования. Существует возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе и без построения h(t), используя различные косвенные оценки, которые определяются проще, чем переходная функция. Такие косвенные оценки называются критериями качества. При исследовании качества переходных процессов эти критерии являются аналогами критериев устойчивости.

Рассмотрим частотные критерии качества, позволяющие судить о динамических свойствах системы по ее частотным характеристикам. К их числу могут быть отнесены (см. разд. 3.4) запасы устойчивости САУ по усилению и фазе, которые могут быть определены по АФХ или логарифмическим амплитудно- и фазо-частотной характеристикам системы в разомкнутом состоянии.

Для оценки качества переходного процесса минимально-фазовой системы достаточно знать вид ее амплитудно-частотной характеристики . С целью обеспечения сопоставимости значений критериев для различных САУ характеристиканормируется, для чего ее ординаты делятся на начальное значение, т.е. на ее значение при:

.

При этом АЧХ нормированных статических систем начинается с единицы (рис. 4.2).

К частотным показателем качества, определяемым по, относятся:

• полоса пропускания системы;

• резонансная частота :

• показатель колебательности M.

Полоса пропускания системы- это диапазон частот, в котором превышает единицу. Если АЧХ замкнутой системыво всем частотном диапазоне меньше единицы, то полоса пропускания отсчитывается на уровне 0,707.

Резонансная частота – это частота, при которойдостигает максимума.

Показатель колебательности M равен максимальному значению нормированной АЧХ замкнутой системы, т.е.

= .

При < 1 переходная функция системы монотонная (не колебательная). Чем большеM, тем больше колебательность. При M в системе возникают незатухающие колебания с частотой . Качество регулирования САУ считается вполне удовлетворительным, если показатель колебательности системы находится в диапазоне 1,1 < М < 1,5 , при этом переходная функция имеет приемлемую колебательность с частотой близкой к .

Длительность переходного процесса определяется шириной характеристики , а, следовательно, величиной полосы пропускания . Чем больше , т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс и меньше t_p. Это связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна. Этим же объясняется и то, что длительность переходного процесса тем меньше, чем больше частота среза .

Величина перерегулирования может быть приближенно оценена по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы:

.

Если график имеет максимум («горб»), переходный процесс в системе происходит с перерегулированием, величина которого составляет не менее 18 %. В случае монотонно убывающей характеристикипереходная функция также будет монотонной (без перерегулирования).

Колебательность и длительность переходного процесса h(t ) замкнутой системы могут быть в первом приближении определены по параметрам ЛАХ разомкнутой системы: частоте среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В случае колебательной переходной функции h(t) резонансная частота ω_р замкнутой системы близка по величине к частоте среза ЛАХ разомкнутой системы. Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте среза имеет наклон -20 дБ/дек; чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. Если запас по фазе Δφ > 30⁰ , а запас по амплитуде не менее 6 дБ, то h(t) имеет слабую колебательность.

4.3. Корневые критерии качества

Эта группа критериев позволяет оценить качество переходных процессов по расположении полюсов и нулей передаточной функции устойчивой замкнутой системы. При исследовании устойчивости САУ оценивалось только расположение полюсов на комплексной плоскости. Оценивая качество переходного процесса, необходимо учитывать и расположение нулей.

К числу корневых критериев качества относят степень устойчивости и степень колебательности.

Степень устойчивости (η) – это расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней левого полюса (рис. 4.3, а) или ближайшей пары комплексно сопряженных полюсов замкнутой системы (рис. 4.3, б). В первом случае соответствующая этому полюсу слагаемое в общем решении дифференциального уравнения (3.5) равно:

.

Во втором случае, когда ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексно-сопряженных полюсов, им в выражении (3.5) будет соответствовать слагаемое вида:

.

В обоих случаях указанное слагаемое будет затухать медленнее остальных, тем самым определяя в первом приближении длительность переходного процесса:

_.

Степень колебательности определяется только для замкнутых систем, передаточные функции имеют комплексно-сопряженные полюса:

p_i,i+1 = α_i + jβ_i .

Переходная функция таких систем в большей или меньшей степени колебательна. Степень колебательности переходного процесса равна:

,

где φ – наибольший по величине угол, образованный отрицательной вещественной полуосью и лучом, проведенным из начала координат к комплексному полюсу p_i (рис. 4.3, а, б). Среди всех комплексно-сопряженных полюсов системы указанному полюсу соответствует максимальное отношение мнимой части к действительной. Чем больше степень колебательности μ, тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе.

Задавшись предельно допустимыми значениями степени устойчивости η_з и степени колебательности φ_з, можно построить на комплексной плоскости область (рис. 4.3, в), в которой должны находиться полюса системы, показатели качества регулирования которой будут удовлетворять заданным значениям, т.е. η > η_з и μ < μ_з.

4.4. Интегральные критерии качества

Интегральными критериями (оценками) качестваназываются такие, которые одним числом (интегрально) оценивают качество переходного процесса в системе. Кроме того, такие оценки обычно являются интегральными функционалами и выражаются в следующем виде:

где F– заданная функция, определяющая тип интегрального критерия;x(t) – отклонение переходной функции системы от значенияh(∞), которое установится после окончания переходного процесса, т.е.

x(t) = h(∞) – h(t). (4.2)

Как известно, качество переходного процесса в САУ оценивается совокупностью показателей. Зачастую при изменении параметров системы с целью обеспечения требуемых характеристик переходного процесса одни из показателей улучшаются, в то время как другие ухудшаются. В такой ситуации, когда задача выбора оптимальных значений параметров системы оказывается многокритериальной, а потому трудноразрешимой, использование интегральных критериев, оценивающих качество регулирования одним числом, оказывается предпочтительным.

Для монотонного процесса (рис. 4.4, а) интегральной оценкой может служить функционал следующего вида:

называемый линейной интегральной оценкой качества J₁. Ее численное значение равно площади под кривой переходного процесса. Очевидно, что динамика системы тем лучше, чем меньше значение J₁.

Для обеспечения требуемых динамических свойств САУ необходимо выразить величину J₁ через коэффициенты передаточной функции системы, а затем найти оптимальные значения варьируемых параметров, соответствующих минимуму J₁.