Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

При описании системы в пространстве состояния целесообраз­но разделить все сигналы, характеризующие поведение системы, на три группы:

1. входные сигналы или входные воздействия , приложенные к исследуемой системе со стороны других систем,;

2. выходные сигналы , характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия, ;

3. промежуточные переменные , характеризующие внутреннее состояние системы,.

Для удобства описания каждую группу переменных можно представить в виде вектора (матрицы-столбца):

X_вх(t) = – вектор входных воздействий;

X_вых(t)= – вектор выходных переменных системы;

X(t) = – вектор переменных состояния системы.

Приведенная классификация сигналов в системе является в определенной степени условной, так, некоторые переменные состояния могут совпадать с выходнымисигналами , но в общем случае между ними существует следующая зависимость:

(6.1)

В пространстве состояния, осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует вектор X(t). Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего конец вектора X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

Динамика линейной стационарной САУ -го порядка может быть описана системойлинейных дифференциальных уравнений:

(6.2)

Систему уравнений (6.2) можно записать в виде сле­дующего матричного (векторного) дифференциального уравнения:

, (6.3)

где А – матрица системы (квадратная матрица размером );

B – матрица управления размером .

В матричной форме система уравнений (6.1) примет вид:

, (6.4)

где С – матрица наблюдения размером .

Уравнения (6.3) и (6.4) называютуравнениями состояния системы.

Элементы матрицы системы А определяются структур­ной схемой системы и значениями ее параметров. Матри­ца управления В характеризует влияние входных сигналов на переменные состояния, а матрица наблюдения С определяет связь выходных сигналов системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. они не могут быть измере­ны с помощью каких-либо датчиков, в то время как вы­ходные сигналы всегда наблюдаемы.

На рис. 6.1 показана структурная схема системы, соответствующая векторным урав­нениям (6.3) и (6.4); двойные линии на рисунке характеризуют векторный характер сигналов.

Согласно определению понятия состояния системы, в любой момент времени t > t₀ состояние системы является функцией начального состояния X(t₀) и вектора входа X_вх(t₀ , t), т.е.

X(t) = F[X(t₀), X_вх(t₀ , t)]. (6.5)

Вектор выхода в момент t также однозначно связан с векторами X(t₀) и X_вх(t₀ , t):

X_вых(t) = R[X(t₀), X_вх(t₀ , t)]. (6.6)

Приведенные векторные дифференциальные уравнения описывают линейные стационарные САУ. В нестационар­ных системах элементы матрицы в уравнениях (6.3) и (6.4) являются функциями времени, и векторные дифференциальные уравнения принимают вид:

; (6.7)

. (6.8)

6.2. Способы построения схем переменных состояния

Набор внутренних переменных системы, определяющих вектор состояния X(t), может быть различным, т.е. для исследуемой системы существует множество групп переменных состояния

X⁽¹⁾(t)=, X⁽²⁾(t)=,…,

таких, что каждая из них описывает состояние полностью, причем любые два вектора X⁽ⁱ⁾(t) и X^(j)(t) из этого множества будут однозначно связаны между собой. Удачный выбор переменных состояния часто приводит к существенному упрощению математического описания САУ.

Естественным является стремление выбрать в качестве составляющих вектора состояния контролируемые выходные сигналы системы, характеризующие качество процесса управления, но их обычно бывает недостаточно для полного математического описания САУ. Выбор вектора переменных состояния осуществляется одним из следующих трех способов, называемых методами программирования:

• прямого;

• параллельного;

• последовательного.

Кроме того, воз­можны комбинированные способы, когда часть системы строится, например, методом параллельного программирования, а остальная часть – методом последовательного программирования.

Метод прямого программирования

Пусть передаточная функция си­стемы имеет вид:

. (6.9)

Разделив числитель и знаменатель W (р} на , получим:

.

Выходной сигнал системы равен:

.

Введем в рассмотрение фиктивную переменную , равную:

.

Преобразуем последнее выражение к виду:

. (6.10)

Тогда выходной сигнал системы может быть выражен следующим образом:

. (6.11)

На основании выражений (6.10) и (6.11) составим структурную схему системы (рис. 6.2) с передаточной функцией (6.9), содержащую только пропорциональные звенья и последовательно соединенных интегрирующих звеньев.

Очевидно, что в качестве переменных состояния, полностью описывающих поведение такой системы, могут быть выбраны выходные сигналы интегрирующих звеньев:

X(t) = .

Особый интерес представляют схемы переменных состояния про­стейших звеньев (рис. 6.3) с передаточными функциями вида:

а) ;

б) ;

в) ;

г).

Метод параллельного программирования

Для построения схем перемен­ных состояния способом параллельного программирования переда­точная функция системы (6.9), имеющая в общем случае действительных ипар комплексно-сопряженных полюсов (), предварительно должна быть раз­ложена на сумму простейших дробей, т.е. представлена в виде:

, (6.12)

где коэффициенты разложения.