Файл: 1. 1 Познавательные учебные действия как компонент требований фгос ооо 6.doc

1. Понятие множества.

Когда в обычной жизни говорят слово «множество», то имеют в виду некоторую совокупность предметов, причем считается, что этих предметов взято много: «Какое множество людей на площади!». Под множеством в математике также понимают какую – либо совокупность предметов или понятий: множество целых чисел от 1 до 10, множество учеников в первых классах и т.п. В математике слово «много» смысла не имеет. В математике множество может состоять из одного, двух и даже может вообще ни из чего не состоять. Эти предметы (или объекты, явления, понятия), из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят также, что эти элементы принадлежат множеству. Множество, не содержащее никаких элементов, называют пустым. Множество можно задать перечислением. Все элементы множества записываются через запятые и заключаются в фигурные скобки. Используется этот способ для задания конечных множеств, состоящих из небольшого числа элементов. Для графического изображения множеств используются диаграммы Эйлера – Венна. Круги Эйлера изображают множества условно, т.к. круг содержит бесконечное множество точек, в то время как множество, которое он может изображать, может быть конечным [39, С. 63].

Методика преподавания математики в средней школе. Автор: Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканин Г.Л. 1975.

В этой книге нашли свое отражение основные вопросы программы по методике математики для пединститутов. Вопросы общей и специальной методики математики рассматриваются здесь не по учебным предметам школьного математического цикла, а в соответствии с центральными идеями школьного курса математики (с учетом особенностей каждого года обучения). Такая система изложения курса методики отвечает современным требованиям к подготовке учителя математики, давая возможность рассмотреть различные варианты организации обучения и оставляя за учителем право творческого выбора того или иного методического подхода в процессе обучения.

В учебно-методической литературе (журналы «Квант», «Математика в школе», газеты «Математика» приложения к газете «1 сентября») вопросам преподавания теории множеств уделяется в школе крайне недостаточное внимание.

По программе «Школа 2000» дети в 5-м классе знакомятся с понятиями множества и его элементов, рассматривают операции объединения и пересечения множеств и их свойствами, знакомятся с теоретико-множественной символикой.

Диаграммы Эйлера – Венна позволяют наглядно иллюстрировать операции над множествами и их свойства, решать самые разнообразные задачи.

---

Например: Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего - 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис?

Решение: Изобразим множества, о которых идет речь в задаче, на кругах Эйлера - Венна, обозначив

В – множество человек, играющих в волейбол;

Т - множество человек, играющих в теннис.

1 способ.

(12 + 9) – 16 = 5 (чел.)

2 способ.

1)    16 – 9 = 7 (чел.) – играют только в волейбол.

2)    16 – 12 = 4 (чел.) – играют только в теннис.

3)    16 – (7 + 4) = 5 (чел.)

Ответ: одновременно в волейбол и теннис играют 5 человек [40, С. 66].

2.     Понятие декартова произведения.

Если есть два множества А и В, то можно образовать формально новое множество – их декартово произведение, обозначаемое АхВ. Это новое множество состоит из элементов, каждый из которых является парой (а,b), причем первая компонента этой пары элемент а принадлежит множеству А, а вторая, элемент принадлежит множеству B.

С понятием декартова произведения мы встречаемся в учебниках 5-9 класса по программе «Школа 2000», а именно, при изучении «декартовой» прямоугольной системы координат. Работу дети начинают с центральными углами, затем переходят к круговым, а от них – к линейным и столбчатым диаграммам. При рассмотрении линейных и столбчатых диаграмм появляется вертикальный координатный луч, который дает ключ к построению координатного угла. Учащиеся знакомятся со способом обозначения объектов на плоскости парой элементов, т.е. двумя элементами, взятыми в определенном порядке (а,b). Вводится понятие координатного угла, оси абсцисс и оси ординат, координаты точки. По данной теме встречаются разноплановые задачи, где предлагается восстановить рисунок по коду, т.е. по координатам, проверить, верно ли закодировано изображение, закодировать рисунок самому ребенку.

Например: Построй четырехугольник АВСD по координатам его вершин. Если возможно, проведи его оси симметрии. А (0;1), В (2;5), С (6;5), D(8;1).

Для изображения декартова произведения нечисловых множеств используется таблица. Например: «Фабрика верхнего трикотажа изготавливает мужские пуловеры, женские костюмы, кофты, платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую каких цветов могут быть данные изделия».

3.     Алгебраические операции.

С примерами алгебраических операций мы хорошо знакомы. Это – сложение, умножение, вычитание, деление чисел, деление с остатком в множестве натуральных чисел, возведение в степень; сложение, умножение, вычитание и деление функций.

---

Алгебраические операции могут обладать или не обладать различными свойствами – такими, как коммутативность (перестановочность), ассоциативность (сочетательность), дистрибутивность и т.д. Например, операция сложения и операция умножения натуральных чисел коммутативна, а операции вычитания и деления – не коммутативны [41, С. 15].

Слово «соответствие» в русском языке употребляется довольно часто. Оно означает соотношение между чем-либо, выражающее согласованность, равенство в каком-либо отношении. Например: «Этот учебник соответствует данной программе, а этот учебник не соответствует, это яблоко соответствует высшему сорту, а это только первому» и т.д. Во всех случаях речь идет о двух классах объектов, причем между объектами из одного класса устанавливается некая связь с объектами другого класса. В математике рассматриваются такие соответствия, для которых эти классы объектов, между которыми устанавливается соответствие и правило установления соответствия, вполне определены. Соответствия можно задавать несколькими способами: графом, таблицей, графиком на координатной плоскости, неравенством с двумя переменными. Устанавливать соответствия дети уже начинают в 1 классе при ознакомлении нумерации чисел первого десятка, где они знакомятся с отношениями «больше»(>), «меньше» (<), столько же (равно) устанавливая пары (взаимно однозначные соответствия) между объектами [42, С. 97].

Например:

Например: Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает фамилия», заметил брюнет. «Ты прав», сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

Решение:

Фамилия	Цвет волос
	блондин	брюнет	рыжий
Белов	-	-	+
Чернов	+	-	-
Рыжов	-	+	-

Ответ: из таблицы видно, что художник брюнет. 

Элементы комбинаторики

---

В различных видах деятельности человеку довольно часто приходится иметь дело с теми или иными наборами, или комбинациями, объектов. Например, выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке. Втакого вида задачах речь идет о тех или иных комбинациях. Их называют комбинаторными задачами. Раздел, который изучает задачи такого вида, называется комбинаторикой. Любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

Высказывания

Повествовательное предложение, о котором в определенном контексте и при определенных условиях можно сказать истинно оно или ложно, называется высказыванием.

С первых шагов изучения математики дети имеют дело с научными, в том числе математическими, высказываниями. Например, «5+1=6», «8>7». Некоторые из высказываний могут быть истинными, а некоторые ложными. Ложные высказывания иногда делают ученики из-за ошибок в вычислениях. Формирование у учащихся способности к выделению высказываний из всего множества предложений является необходимым элементом их логической подготовки, принципиально важной не только для математики [44, С. 35].

Например: Какие из предложений являются высказываниями:

·        Днем светло.

·        В небе летают грузовик.

·        Приготовьтесь к уроку!

·        Кто сегодня дежурный?

Какие из равенств или неравенств верные, а какие неверные:

·        35:5=6

·        27=3х9

·        18760>18670

·        91<91

В программе «Школа 2000» логической подготовке детей уделяется особое внимание. Начиная с 5 класса учащиеся знакомятся с различными видами высказываний (частными, общими, высказываниями о существовании), методами их доказательств и опровержений, построением отрицаний, следований, логических выводов. В средней школе осуществляется систематическая подготовка детей к освоению ими логических законов в средней школе.

Под развитием учащихся подразумевается их переход от одного качественного состояния к другому более высокого уровня. В результате у учащихся появляются новообразования в структуре их учебной деятельности; например – новые интеллектуальные умения (сравнивать, рассуждать и т.д.).

Специфика алгебры такова, что изучение этого предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на умственное развитие учащихся. Но умственная деятельность учеников является очень сложной, многокомпонентной. Один из основных её компонентов – мышление, развитие которого есть важнейшая задача общего образования. Мышление обладает рядом признаков среди которых в первую очередь выделяют логичность.

---

Логическое мышление – непротиворечивое, обоснованное, последовательное мышление, протекающее в форме рассуждений [18, С. 4].

Воспитание логического мышления в значительной степени происходит на уроках алгебры. Неслучайно алгебру называют прикладной логикой; поскольку именно в алгебре ученик с наибольшей полнотой может увидеть демонстрацию почти всех законов логики.

Таким образом, одна из важнейших целей обучения алгебре – развитие логического мышления учащихся.

Развитие логического мышления учащихся происходит в процессе формирования и совершенствования уровней, форм и операций мышления, выработки умений и навыков по их применению в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приёмов мыслительной деятельности из одной области знаний в другую.

Таким образом, если нам удастся установить влияние использования элементов теории множеств на совершенствование уровней, форм и операций мышления, то можно говорить о таком использовании как средстве усиления развития логического мышления школьников.

В первом случае рассуждение осуществляется на основе восприятия и действий с конкретными предметами, во втором случае рассуждение осуществляется с опорой на картинки, схемы, символические записки и т.д. При абстрактном мышлении отвлекаются от всяких конкретных предметов, схем и т.п., и рассуждают в уме [45, С. 86].

Из этой характеристики уровней мышления следует основная линия его развития -» … от практического мышления, скованного конкретной ситуацией, к отвлеченному, абстрактному мышлению, безгранично расширяющему сферу познания, позволяющему выходить далеко за пределы непосредственного чувственного опыта» [3, С. 37].

Особенностью мышления школьников является тесное взаимодействие трех уровней мышления: наглядно-действенного, наглядно-образного и абстрактного. Однако если первые два уже достигли достаточно высокого уровня развития, то последний только начинает себя проявлять [12, С. 34].

Для алгебры специфичен абстрактный уровень мышления, однако он нисколько не уменьшает значение других уровней. Задача обучения алгебре детей школьного возраста должна заключатся не в том, чтобы заставить ребенка как можно быстрее пройти все стадии в развитии мышления, а в том чтобы обеспечить наиболее полное использование возможностей мышления имеющихся у ученика, для перехода к самому высокому абстрактному уровню мышления.

---