ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 657
Скачиваний: 2
1.3. Основные законы механики сплошной среды
41
1.3
Основные законы механики сплошной среды
1.3.1
Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности
Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент
времени
t
объём пространства
V
, выражается интегралом
m
=
Z
V
ρ
(
x
, t
)
dV,
где
ρ
(
x
, t
)
— непрерывная функция координат, называемая плотностью.
Закон сохранения массы:
масса выделенной части среды остаётся посто-
янной
:
dm/dt
= 0
.
dm
dt
=
Z
V
·
dρ
dt
+
ρ
∂v
i
∂x
i
¸
dV
= 0
.
Поскольку последнее равенство верно для любого произвольного объёма
V
,
подынтегральное выражение должно обращаться в нуль:
dρ
dt
+
ρ
∂v
i
∂x
i
= 0
.
Это уравнение называется уравнением
неразрывности
.
Для несжимаемой среды (
dρ/dt
= 0
) получаем:
∂v
i
∂x
i
= 0
.
1.3.2
Теорема об изменении количества движения. Уравнения дви-
жения. Уравнения равновесия.
Рассмотрим в момент времени
t
движущийся объем сплошной среды
V
, ограни-
ченный поверхностью
S
. На него действуют массовые силы с плотностью
b
i
. На
поверхности
S
действует вектор напряжений с компонентами
t
(
n
)
i
. В объеме
V
определено поле скоростей
v
i
=
du
i
/dt
. Общее it количество движения системы
масс, заполняющих объем
V
определяется интегралом
P
i
=
Z
V
ρv
i
dV.
42
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Теорема об изменении количества движения утверждает, что
скорость из-
менения со временем количества движения некоторой части сплошной среды
равна результирующей сил, Действующих на рассматриваемую область
. Это
утверждение записывается в векторной форме следующим образом:
Z
S
t
(
n
)
dS
+
Z
V
ρ
b
dV
=
d
dt
Z
V
ρ
v
dV
Последнее равенство можно записать в покомпонентной форме:
Z
S
t
(
n
)
i
dS
+
Z
V
ρb
i
dV
=
d
dt
Z
V
ρv
i
dV
Используя формулу Коши
t
(
n
)
i
=
σ
ij
n
i
, формулу Гаусса-Остроградского и
расписывая полную производную по времени, получим интегральную форму
теоремы об изменении количества движения:
Z
V
(
σ
ij,j
+
ρb
i
−
ρ
˙
v
i
)
dV
= 0
.
Поскольку объем
V
произволен, то подынтегральное выражение должно обра-
щаться в нуль в каждой точке рассматриваемого объема:
σ
ij,j
+
ρb
i
=
ρ
˙
v
i
.
Эти три уравнения называются
дифференциальными уравнениями движения
.
Если ускорения равны нулю, то получаем
дифференциальные уравнения рав-
новесия
:
σ
ij,j
+
ρb
i
= 0
.
1.3.3
Теорема об изменении момента количества движения.
Теорема об изменении момента количества движения
утверждает, что ско-
рость изменения во времени момента количества движения произвольно вы-
бранной части сплошной среды относительно любой точки равна главному мо-
менту (относительно той же точки) массовых и поверхностных сил, действую-
щих на рассматриваемую область сплошной среды:
Z
S
(
x
×
t
(
n
)
)
dS
+
Z
V
(
x
×
ρ
b
)
dV
=
d
dt
Z
V
(
x
×
ρ
v
)
dV.
1.3. Основные законы механики сплошной среды
43
Следствием этого закона для "безмоментной"среды является симметрия тензо-
ра напряжения:
σ
ij
=
σ
ji
.
1.3.4
Сохранение энергии. Первый закон термодинамики. Уравне-
ние энергии.
Задать состояние термодинамической системы это значит полностью охарак-
теризовать систему. Это описание в общем случае определяется несколькими
термодинамическими и кинематическими величинами, которые называются
па-
раметрами состояния
. Если параметры состояния изменяются со временем, то
происходит
термодинамический процесс
. Параметры состояния, используемые
для характеристики данной системы не все независимы: между ними суще-
ствуют функциональные связи, которые выражаются так называемыми
урав-
нениями состояния
. Любой параметр состояния, который можно представить
однозначной функцией других параметров состояния, называется
функцией со-
стояния
.
Если изучаются только механические величины, то закон сохранения ме-
ханической энергии можно получить непосредственно из уравнений движения.
Умножим каждое из из уравнений движения на
v
i
, сложим получившиеся урав-
нения и проинтегрируем по объему
V
:
Z
V
ρv
i
˙
v
i
dV
=
Z
V
v
i
σ
ij,j
dV
+
Z
V
ρv
i
b
i
dV
(1.40)
Интеграл
Z
V
ρv
i
˙
v
i
dV
=
d
dt
Z
V
ρ
v
i
v
i
2
dV
=
d
dt
Z
V
ρv
2
2
dV
=
dK
dt
(1.41)
— скорость изменения со временем кинетической энергии
K
объема
V
сплошной
среды.
Используя равенство
v
i
σ
ij,j
= (
v
i
σ
ji
)
,
j
−
v
i,j
σ
ji
и теорему Гаусса-Остроградского,
равенство (1.40) можно записать в виде:
dK
dt
+
Z
V
˙
ε
ij
σ
ji
dV
=
Z
S
v
i
t
(
n
)
i
dS
+
Z
V
ρv
i
b
i
dV,
(1.42)
44
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
где
˙
ε
ij
=
1
2
µ
∂v
i
∂x
j
+
∂v
j
∂x
i
¶
.
(1.43)
В левой части равенства (1.42) стоит полная мощность механической энергии
в объеме
V
сплошной среды, в правой — мощность поверхностных и массовых
сил, приложенных к этому объему.
Равенство (1.42) можно записать в следующем виде:
dK
dt
+
δP
dt
=
δW
dt
,
где
δP/dt
и
δW/dt
— мощность внутренних и внешних сил соответственно. Сим-
вол
δ
означает что соответствующее приращение в общем случае не является
полным дифференциалом какой либо функции.
Если кроме механической энергии следует учитывать и другие виды энергии,
то закон сохранения энергии должен использоваться в самой общей форме:
скорость изменения со временем кинетической и внутренней энергии равна
сумме механической работы внешних сил, совершаемой в единицу времени, и
притока прочих видов энергии (тепловой, химической, электромагнитной и
др.) за единицу времени
.
Запишем закон сохранения энергии в случае, когда учитывается только ме-
ханическая и тепловая энергии (тепломеханический континуум).
Скорость изменения внутренней энергии представляется интегралом
dU
dt
=
d
dt
Z
V
ρu dV
=
Z
V
ρ
˙
u dV.
(1.44)
Величина
u
называется удельной внутренней энергией.
Пусть
c
i
— компоненты вектора потока тепла;
z
— мощность внутренних
тепловых источников на единицу массы. Тогда скорость притока тепла к объему
сплошной среды
V
, ограниченному поверхностью
S
, будет
δQ
dt
=
−
Z
S
c
i
n
i
dS
+
Z
V
ρz dV
(1.45)
Закон изменения энергии термомеханического континуума записывается в сле-
дующем виде:
1.3. Основные законы механики сплошной среды
45
dK
dt
+
dU
dt
=
δW
dt
+
δQ
dt
,
(1.46)
или
d
dt
Z
V
ρ
v
i
v
i
2
dV
+
Z
V
ρ
˙
u
i
dV
=
=
Z
S
t
(ˆ
n
)
i
v
i
dS
+
Z
V
ρv
i
b
i
dV
+
Z
V
ρz dV
−
Z
S
c
i
n
i
dS
(1.47)
Преобразуя интегралы по поверхности в интегралы по объёму и используя про-
извольность объёма
V
, получим
d
dt
µ
v
2
2
+
u
)
¶
=
1
ρ
(
σ
ji
v
i
)
,j
+
b
i
v
i
−
1
ρ
c
i,i
+
z
(1.48)
Учитывая, что напряжения
σ
ji
удовлетворяют уравнения движения, равенство
(1.48) можно записать в следующем виде:
du
dt
=
1
ρ
σ
ij
˙
ε
ij
−
1
ρ
c
i,i
+
z
(1.49)
Равенство (1.49) утверждает:
скорость изменения внутренней энергии рав-
на сумме мощности напряжений плюс приток тепла к элементу среды
1.3.5
Определяющие уравнения. Термомеханический и механиче-
ский континуум
Для термомеханической сплошной среды основными уравнениями будут следу-
ющие.
уравнение неразрывности
:
∂ρ
∂t
+ (
ρv
k
)
,k
= 0
,
или
∂ρ
∂t
+
∇ ·
(
ρ
v
) =
0
;
(1.50)
уравнения движения
:
σ
ji,j
+
ρb
i
=
ρ
˙
v
i
,
или
∇
x
·
Σ
+
ρ
b
=
ρ
˙v
;
(1.51)