ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 658
Скачиваний: 2
36
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
— шаровой тензор,
D
σ
=
σ
x
−
σ
τ
xy
τ
xz
τ
xy
σ
y
−
σ
τ
yz
τ
xz
τ
yz
σ
z
−
σ
— девиатор напряжений
Нормальные составляющие девиаторы будем обозначать через
s
x
=
σ
x
−
σ,
s
y
=
σ
y
−
σ,
s
z
=
σ
z
−
σ
Главные направления девиатора и тензора напряжений совпадают, а главные
значения
s
i
отличаются от
σ
i
на величину среднего давления
σ
и являются
корнями кубического уравнения
−
λ
3
+
I
1
(
D
σ
)
λ
2
+
I
2
(
D
σ
)
λ
+
I
3
(
D
σ
) = 0
,
где
I
1
(
D
σ
) = 0
I
2
(
D
σ
) =
1
6
£
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+ (
σ
2
−
σ
3
)
2
+ (
σ
3
−
σ
1
)
2
¤
I
3
(
D
σ
) =
s
1
s
2
s
3
.
Неотрицательная величина
T
=
p
I
2
(
D
σ
) =
1
√
6
q
(
σ
x
−
σ
y
)
2
+ (
σ
y
−
σ
z
)
2
+ (
σ
z
−
σ
x
)
2
+ 6(
τ
2
xy
+
τ
2
yz
+
τ
2
zx
)
называется
интенсивностью касательных напряжений
.
Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль только в том
случае, когда напряженное состояние в точке является состоянием "гидроста-
тического"давления.
Для чистого сдвига
σ
1
=
τ,
σ
2
= 0
,
σ
3
=
−
τ
и, следовательно,
T
=
τ.
В случае простого растяжения (сжатия) в направлении оси
x
σ
x
=
σ
1
,
σ
y
=
σ
z
=
τ
xy
=
τ
yz
=
τ
zx
= 0
1.2. Напряжения
37
и, следовательно,
T
=
|
σ
1
|
√
3
.
Так как в данном случае кубическое уравнение имеет вещественные корни, то
его решение находится в тригонометрической форме. Главные компоненты де-
виатора можно выразить через инварианты
s
1
=
2
√
3
T
cos(
ω
σ
−
π
3
)
,
s
2
=
2
√
3
T
cos(
ω
σ
+
π
3
)
,
s
3
=
−
2
√
3
T
cos
ω
σ
.
Для главных касательных напряжений получим следующие выражения
τ
1
=
−
T
sin(
ω
σ
−
π
3
)
,
τ
2
=
−
T
sin(
ω
σ
+
π
3
)
,
τ
3
=
−
T
sin
ω
σ
.
Используя неравенства
σ
1
≥
σ
2
≥
σ
3
,
можно показать, что величина
ω
σ
изменяется в пределах
0
≤
ω
σ
≤
π
3
.
Учитывая это неравенство и поскольку
τ
max
=
−
τ
2
, получим
1
≤
T
τ
max
≤
2
√
3
.
С наибольшей погрешностью (около 7%) имеем
T
≈
1
,
08
τ
max
38
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Геометрическая интерпретация напряженного состояния в точке
Q
O
P
n
D
s
1
s
2
s
3
Главные напряжения вычисляются через среднее напряжение
σ
, интенсив-
ность касательных напряжений
T
, и величину
ω
σ
.
Напряженное состояние в точке в пространстве главных напряжений
σ
1
, σ
2
, σ
3
представляется вектором
OP
с компонентами
σ
1
, σ
2
, σ
3
.
Плоскость
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
= 0
проходит через начало координат и равно наклонена к осям. Следовательно
единичный вектор нормали к этой плоскости есть
n
=
1
√
3
(
i
1
+
i
2
+
i
3
)
Прямая линия
σ
1
=
σ
2
=
σ
3
,
проходящая через начало координат и перпендикулярная к плоскости
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
= 0
называется гидростатической осью.
Вектор
OP
представляется в виде
OP
=
σ
1
i
1
+
σ
2
i
2
+
σ
3
i
3
039.png)
1.2. Напряжения
39
Проекция вектора
OP
на нормаль пропорциональна среднему давлению
(
OP
·
n
) =
√
3
σ.
Введем вектор
OQ
=
s
1
i
1
+
s
2
i
2
+
s
3
i
3
,
изображающий девиатор
D
σ
.
Очевидно, что
OP
=
OQ
+
√
3
σ
n
и
(
OQ
·
n
) = 0
.
Следовательно, вектор
OQ
лежит в плоскости
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
= 0
, которая назы-
вается
девиаторной плоскостью
.
Длина вектора
OQ
пропорциональна интенсивности касательных напряже-
ний
|
OQ
|
=
√
2
T.
Угол
ω
σ
определяет положение вектора
OQ
на девиаторной плоскости.
А именно, угол между вектором
OQ
и отрицательной осью
3
0
равен
ω
σ
.
040.png)
40
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Рассмотрим площадку, проходящую через данную точку и равно наклонен-
ную к главным осям (октаэдрическую площадку).
Проекции вектора напряжений
p
, действующего на октаэдрической площад-
ке в соответствии с формулами Коши будут
σ
1
√
3
,
σ
2
√
3
,
σ
3
√
3
,
Нормальное напряжение на этой площадке равно среднему давлению
σ
n
=
σ,
а касательное напряжение
τ
n
пропорционально
T
τ
n
=
r
2
3
T.