ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 674
Скачиваний: 2
1.2. Напряжения
31
эквивалентно следующему разложению этой формы:
σ
ij
x
i
x
j
=
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
3
(
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
) +
µ
σ
ij
−
δ
ij
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
3
¶
x
i
x
j
.
Это разложение так же инвариантно относительно выбора ортогональной си-
стемы координат.
Интересно отметить, что “девиаторный полином”
P
=
µ
σ
ij
−
δ
ij
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
3
¶
x
i
x
j
гармонический, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа
4
P
=
∂
2
P
∂x
2
1
+
∂
2
P
∂x
2
2
+
∂
2
P
∂x
2
3
= 0
.
Пусть полином второй степени
Q
(
x
1
, x
2
, x
3
) =
σ
ij
x
i
x
j
построен с помощью ко-
эффициентов
σ
ij
— компонент тензора напряжений. Оператор Лапласа от
Q
будет постоянным:
4
Q
=
∂
2
Q
∂x
2
1
+
∂
2
Q
∂x
2
2
+
∂
2
Q
∂x
2
3
= 2(
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
)
.
Девиатору тензора напряжений отвечает квадратичная форма
P
, которая вы-
числяется через
Q
по формуле
P
=
Q
−
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
6
4
Q
=
Q
−
1
6
(
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
)
µ
∂
2
Q
∂x
2
1
+
∂
2
Q
∂x
2
2
+
∂
2
Q
∂x
2
3
¶
,
из которой нетрудно вывести инвариантность относительно вращений операто-
ра, переводящего
Q
в
P
.
Каждому повороту ортогональной системы координат отвечает некоторое
вполне определенное линейное преобразование компонент
σ
ij
. Говорят, что тен-
зор
σ
ij
преобразуется по некоторому представлению группы вращений.
Девиатор
σ
ij
−
δ
ij
(
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
)
/
3
преобразуется по некоторому представле-
нию этой группы, так же как и величина
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
. Эта последняя величина
преобразуется самым простым способом — остается без изменений. Тем самым
тензор
σ
ij
на два независимых представления — одномерное, по которому преоб-
разуется след
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
и пятимерное, по которому преобразуется девиатор.
32
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Оказывается, что это пятимерное представление уже не может быть разложено
на представления меньших размерностей.
Иногда для величины возможных касательных напряжений применяют не
матрицу девиатора, а ее ортогональные инварианты. т.е. величины, не меня-
ющиеся при вращении. В качестве таких инвариантов могут быть выбраны
собственные значения
κ
1
,
κ
2
,
κ
3
матрицы девиатора, т.е. корни уравнения
¯
¯
¯
¯
¯
¯
σ
11
−
σ
−
κ
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
−
σ
−
κ
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
−
σ
−
κ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
,
σ
=
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
3
либо симметрические функции от этих корней. Все симметрические функции
выражаются через основные функции
κ
1
+
κ
2
+
κ
3
,
κ
1
κ
2
+
κ
1
κ
3
+
κ
2
κ
3
,
κ
1
κ
2
κ
3
.
Так как
κ
i
=
s
i
−
(
s
1
+
s
2
+
s
3
)
/
3
, то имеем
κ
1
+
κ
2
+
κ
3
= 0
, и независимых
инвариантов девиатора оказывается только два:
κ
1
κ
2
+
κ
1
κ
3
+
κ
2
κ
3
,
и
κ
1
κ
2
κ
3
.
Как правило, в качестве меры интенсивности касательных напряжений при-
нимают либо величину
r
2
3
(
κ
2
1
+
κ
2
2
+
κ
2
3
) =
r
(
s
2
2
−
s
2
3
)
2
+ (
s
2
3
−
s
2
1
)
2
+ (
s
2
1
−
s
2
2
)
2
6
,
либо величину максимального касательного напряжения
max
|
(
s
i
−
s
j
)
|
= max
|
(
κ
i
−
κ
j
)
|
.
1.2.3
Напряженное состояние точке (дополнение)
Совокупность компонент векторов напряжений на площадках, перпендикуляр-
ных координатным осям, обычно записывается в виде квадратной матрицы
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
=
k
σ
ij
k
,
которая называется
тензором напряжений
.
Перепишем этот тензор в других обозначениях:
T
σ
=
σ
x
τ
xy
τ
xz
τ
xy
σ
y
τ
yz
τ
xz
τ
yz
σ
z
,
1.2. Напряжения
33
x
x
x
1
2
3
s
s
s
1
3
2
s
s
s
s
s
s
s
s
s
11
31
21
22
12
32
13
33
23
Рис. 1.5:
Физический смысл компонент тензора напряжений показан на рис. 1.5.
Вектор напряжения
p
(
p
x
, p
y
, p
z
)
на площадке с нормалью
n
(
n
x
, n
y
, n
z
)
(рис.
1.6) вычисляется по формулам
p
x
=
σ
x
n
x
+
τ
xy
n
y
+
τ
xz
n
z
p
y
=
τ
xy
n
x
+
σ
y
n
y
+
τ
yz
n
z
p
z
=
τ
xz
n
x
+
τ
yz
n
y
+
σ
z
n
z
Нормальная составляющая
σ
n
=
σ
x
n
2
x
+
σ
y
n
2
y
+
σ
z
n
2
z
+ 2
τ
xy
n
x
n
y
+ 2
τ
yz
n
y
n
z
+ 2
τ
zx
n
x
n
z
Касательная составляющая
τ
n
=
q
p
2
x
+
p
2
y
+
p
2
z
−
σ
2
n
В каждой точке среды существуют три главных направления и три взаим-
но перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны
нулю. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными на-
пряжениями. Пронумеруем главные оси так, чтобы выполнялись неравенства
σ
1
≥
σ
2
≥
σ
3
034.png)
34
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Рис. 1.6:
Тензор напряжений, отнесенный к главным осям имеет вид
T
σ
=
σ
1
0
0
0
σ
2
0
0
0
σ
3
На площадках, делящих пополам углы между главными плоскостями и про-
ходящих соответственно через главные оси 1, 2, 3, касательные напряжения по
абсолютной величине равны
1
2
|
σ
2
−
σ
3
|
,
1
2
|
σ
3
−
σ
1
|
,
1
2
|
σ
1
−
σ
2
|
Касательные напряжения в этих сечениях достигают экстремальных значений
1.2. Напряжения
35
и называются главными. Введем для них обозначения
τ
1
=
σ
2
−
σ
3
2
,
τ
2
=
σ
3
−
σ
1
2
,
τ
3
=
σ
1
−
σ
2
2
,
Наибольшее касательное напряжение
τ
max
при принятой нумерации главных
осей равно
τ
max
=
−
τ
2
=
σ
1
−
σ
3
2
Нормальные напряжения, на которых действуют главные касательные напря-
жения соответственно равны
σ
2
+
σ
3
2
,
σ
3
+
σ
1
2
,
σ
1
+
σ
2
2
,
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
σ
x
−
λ
τ
xy
τ
xz
τ
xy
σ
y
−
λ
τ
yz
τ
xz
τ
yz
σ
z
−
λ
= 0
или
−
λ
3
+
I
1
(
T
σ
)
λ
2
+
I
2
(
T
σ
)
λ
+
I
3
(
T
σ
) = 0
,
где
I
1
(
T
σ
) =
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
I
2
(
T
σ
) =
−
(
σ
1
σ
2
+
σ
2
σ
3
+
σ
3
σ
1
)
I
3
(
T
σ
) =
σ
1
σ
2
1
σ
3
Величина
σ
=
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
3
называется средним давлением в точке.
Девиатор напряжений
Представим тензор напряжений в виде суммы
T
σ
=
σT
1
+
D
σ
,
где
σT
1
=
σ
0 0
0
σ
0
0 0
σ