Файл: Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители.doc

1) фигура, плоскость, луч	2) луч, треугольник, плоскость
3) точка, прямая, плоскость	4) точка, отрезок, плоскость

Упражнение 3.

Среди предложенных математических утверждений евклидовой геометрии аксиомой является…

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

2) Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

3) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

4) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Упражнение 4.

Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой.

1. «Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны».	А. Определение B. Аксиома C. Теорема
2. «На каждой прямой и в каждой плоскости имеются, по крайней мере, две точки».
3. «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Упражнение 5.

Среди предложенных математических утверждений аксиомой является…

1) Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4) Вертикальные углы равны.

1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики.

Высказывание. Простые высказывания. Составные высказывания.

Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, эквивалентности, импликации. Порядок старшинства операций. Основные законы математической логики. Парадоксы логики, или семантические парадоксы
Что есть высказывание.

Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Например, « » или «В неделе семь дней» - истинные высказывания, а « » или «В современном русском языке 35 букв» - ложные высказывания.

Высказывания могут быть образованы с помощью слов или символов. Синонимами слова «высказывание» считаются «логическое высказывание», «булевское выражение», «суждение» и «утверждение». Однако далеко не каждый набор слов или символов, даже, на первый взгляд, осмысленный, является математическим «высказыванием». Например, фразы: «Ура, у нас математика!» или «Который час?» или выражение « » высказываниями не являются, т.к. судить об их истинности или ложности невозможно.

Таким образом, каждое математическое высказывание или истинно, или ложно; одновременно быть и истинным и ложным высказывание не может.

Если высказывание истинное, то ему предписывается значение «истина» (другие обозначения: «1», «ДА», «И», «+», «true»). Ложному высказыванию предписывается значение «ложь» (другие обозначения: «0», «НЕТ», «Л», «-», «false»).

Для обозначения высказываний обычно используют заглавные буквы латинского алфавита A, B, C и т.д.

Например, пишут

, .

Это означает, что высказывание В заключается в утверждении, что число 6 – простое, а высказывание А – в том, что . Знак заменяет слова «есть высказывание», или «тождественно равно».
Простые и составные высказывания.

Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым высказыванием будем понимать такое высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера – простые высказывания.

Про простое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых

высказываний при помощи так называемых логических связок или логических операций, например, союзов «и», «или», слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», можно строить сложные высказывания.

Например, из высказываний ; , используя логические операции, можно образовать следующие сложные высказывания:
,
,

.
Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые не связаны между собой по смыслу. Например, высказывание:
{если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами}
составлено при помощи логической операции «если…, то…» из двух высказываний, между которыми нет никакой смысловой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда или только истинны, или только ложны. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки (операции) использованы для образования сложного высказывания. Во-вторых, истинность или ложность сложного высказывания определяется тем, какие из простых высказываний, образующих сложное высказывание, истинны, а какие – ложны.

Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания

Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание (читается «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.
Таблица истинности для операции отрицания:

А
1	0
0	1

Отрицание – одноместная, или унарная, операция.

Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если - истинное высказывание, то

- ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, что если {в комнате холодно}, то {в комнате не холодно}, но при этом высказывание {в комнате жарко} отрицанием В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: (выражение читается: «А и В»).

Логическое произведение истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пусть, например, , . Тогда высказывание С– истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А = А_i ; где i = 1; 2; …; n

имеет значение «истина», если и А₁, и А₂, и … А_n одновременно истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А₁ , А₂ , А₃ , А₄ . Тогда высказывание

А₂  А₃  А₄ {(8 = 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – ложное, в то время как высказывание

А₁ А₃  А₄ {(5 > 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: (выражение читается: «А или В»).

Сумма является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А	В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Пусть, например, , . Тогда высказывание или – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:

А = А_i ; где i = 1; 2; …; n

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: .

Для эквивалентности используют знак (или ).

Эквивалентность представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пусть {число 3n является чётным}, {число n является чётным}.

Высказывание {число 3n является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число} есть эквивалентность высказываний А и В: .

Операция импликации, или импликация высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В: (выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».
Таблица истинности для операции импликации: