Обозначение чисел: системы счисления. Изучение вопросов обозначения чисел в начальной школе. Проблема обозначения бесконечного множества целых неотрицательных чисел конечным числом знаков в речи и на письме. Проблема построения системы обозначения чисел. История возникновения и развития систем счисления. Конструирование учащимися собственных систем обозначения чисел как средство осознания ими общих проблем и законов развития и хранения знания, средство понимания смысла и структуры десятичной системы счисления, средство выявления различий между числом и цифрой, средство осознания независимости смысла и свойств числа, зависимости возможностей описания, хранения и передачи знаний о числах от способа их обозначения в речи и на письме (от системы счисления).

Расширение числового множества. Истоpия возникновения дробей. (научные, детские, студенческие веpсии). Подготовка учащихся начальных классов к изучению дробей, рациональных чисел в основной школе. Методика изучения темы «Дроби», речевая работа в связи с изучением темы.

17. Арифметические действия в начальном курсе математики и методика их изучения

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы вслучае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т.п.

---

Чтобы не допускать подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.

Из требований программы вытекают следующие задачи:

Довести до сознания детей смысл рассматриваемых действий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое действие при решении различных простых задач.

На доступном для младших школьников уровне и в доступной для них форме познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые являются теоретической основой изучаемых приемов устных и письменных вычислений. Научить применять изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.

Обеспечить усвоение детьми связей, существующих между действиями. Научить применять соответствующие знания: а) в вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соответствующего случая умножения, при нахождении разности с опорой на знание соответствующего случая сложения); б) при проверке правильности выполненных вычислений; в) при решении задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при решении простейших уравнений.

Обеспечить сознательное и прочное усвоение детьми основных приемов устных и письменных вычислений, умение сознательно выбирать такие из известных приемов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.

Сформировать у детей сознательные и прочные навыки быстрых и правильных вычислений.

Для успешного решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений (это в основном сделано в учебниках), но целесообразно использовать различные методы обучения.

Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.

Так, скажем, работа над нумерацией и арифметическими действиями строится в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с - детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многозначные числа), причем при изучении каждой из этих тем предусмотрено наряду с рассмотрением новой области чисел постепенное введение (или углубление, систематизация, обобщение) приобретенных детьми ранее знаний нумерации и действий с числами. Ознакомление детей с числами и арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениями в объединении двух данных множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.

---

18. Формирование понятия "деление с остатком" у младших школьников в начальном курсе математики.

До изучения деления с остатком под делением понималось деление нацело. Трудность изучения деления с остатком заключается как раз в необходимости перестроить в сознании детей их взгляд на деление. Детям нужно объяснить, что когда речь идет о делении, имеется в виду именно деление с остатком. Остаток при этом может быть любой меньший делителя, в том числе и 0. Приступая к работе над этой темой, детей нужно подготовить к восприятию нового понимания деления и к усвоению нового алгоритма. Это включает следующие моменты: 1.можно найти результат деления, даже если нацело разделить не получается; 2.для этого нужно подобрать такое число, которое при умножении на делитель дает число, максимально близкое к делимому, но не превышающее его, то есть если найденное число увеличить на 1, то при умножении на делитель получится число большее, чем делимое; 3.остаток должен быть меньше делителя.

Для того чтобы ребенок более успешно освоил эту тему, можно предложить следующую задачу: "Имеется 15 конфет и 4 тарелки. По сколько конфет нужно положить на тарелки, раскладывая поровну? Сколько конфет останется?" Такая задача возвращает детей к предметному смыслу деления: разделить – разложить на равные части. Здесь мы тоже раскладываем на равные части, но разложить все 15 конфет на 4 тарелки поровну не удается, получается остаток. Решая эту задачу, есть возможность показать и общие, и различные черты нового и прежнего подхода к делению. Работа над задачей может также включать и вопрос: "А если бы конфет было 16, какое максимальное количество можно разложить на 4 тарелки, раскладывая поровну? Сколько бы конфет осталось?" Это дает возможность подчеркнуть, что деление нацело – это частный случай деления с остатком, а деление с остатком включает случай, когда остаток равен 0. Оговорка в условии задачи о том, что конфет на тарелках должно оказаться максимально возможное количество, помогает при решении сориентировать детей в принципе подбора неполного частного. Выяснив, что конфет на тарелки нужно класть по 3, необходимо разобрать, почему отвергаются другие варианты. Для этого можно обсудить следующие вопросы: "А правильно ли будет положить по 2 конфеты?" – "Нет, так как оставшееся количество конфет позволяет положить еще по одной конфете на каждую тарелку". – "А по 4 конфеты?" – "Нет, так как в этом случае конфет не хватит, чтобы положить на каждую тарелку поровну".

Решение задачи оформляется записью, обычной для деления с остатком: 15 : 4 = 3 (ост. 3). После такой работы дети подготовлены к восприятию нового алгоритма. Ориентировочная запись может иметь следующий вид.17 : 5 1.5 х 3 = 15 < 17, 5 х 4 = 20 > 17; 2.17 : 5 = 3 (ост. 2); 3.2 < 5.Такая запись отражает и принцип подбора неполного частного, и то, что остаток обязательно должен быть меньше делителя. При необходимости она может включать в себя и словесные пояснения: 17 : 5. 1) 5 х 3 = 15 < 17, 5 х 4 = 20 > 17 – подберем табличный случай;

---

2) 17 : 5 = 3 (ост. 2) – найдем остаток;

3) 3 < 5 – убедимся, что остаток меньше делителя.

Ориентировка должна включать в себя и случай, когда остаток равен 0. Соответствующая запись.15 : 5 1) 5 х 3 = 15 = 15 ..., 5 х 4 = 20 > 15;

2) 15 : 5 = 3 (ост. 0); 3) 0 < 5.Контроль на этом этапе должен включать подбор неполного частного, нахождение остатка, понимание, что остаток должен быть обязательно меньше делителя.

Поэтому целесообразно задавать следующие вопросы: 1. Какое неполное частное получается при делении? Почему? (Подбираем число, которое при умножении на 5 дает число, максимально близкое 17, но меньшее, чем 17. Это 3. Так как 5 х 3 = 15 < 17, а если мы 5 х 4 = 20 – это уже больше 17); 2. Чему равен остаток? (Находим остаток: 17 – 5 х 3 = 2);3. Каков результат сравнения остатка с делителем? (2 < 5 – остаток меньше делителя, значит пример решили верно).Используя вышеуказанную развернутую запись, ребенку предлагается решить 1–2 примера. После этого целесообразно предложить еще 1–2 подобных стандартных задания на деление с остатком, используя обычную запись с подробным проговариванием вслух каждого шага. Такое количество заданий бывает достаточным для усвоения алгоритма.

19. Методика изучения свойств арифметических действий, их применение при вычислениях.

Свойства арифметических действий (правила) являются теоретической основой для многих вычислительных приемов, изучаемых в начальных классах.

Они используются при рассмотрении случаев сложения и вычитания, а также умножения и деления. Сами свойства являются материалом, играющим вспомогательную роль. С их помощью, на их основе раскрывается суть того или иного вычислительного приема. Поэтому перед учителем стоит задача – при рассмотрении каждого очередного свойства помочь детям уяснить его, а затем научить применять при вычислениях. С этой целью необходимо продумать практическую ситуацию, которая даст возможность подвести детей к пониманию смысла данного свойства (правила).

После раскрытия самого свойства ведется работа по применению его к вычислениям, т.е. к использованию этого свойства для раскрытия вычислительного приема. Не следует требовать от детей формулировки свойства, важно, чтобы они умели применить правило в каждом конкретном случае.

Следующий шаг – формирование у детей умения выделять удобный способ из двух возможных.

В упражнениях, которые рекомендуется решить удобным способом, ученики также записывают только ответ, а пояснения дают устно. В таком же плане проходит работа и над другими свойствами.

Свойство		Объяснение
1. Переместительные свойства умножения и сложения а+в=в+а ав=ва	а+5, 6, 7, 8, 9 (в пределах 10)	3+6=6+3=9 Здесь удобнее к большему числу 6 прибавить меньшее 3, получим 9
2. Прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы (а+в)+с (а+в)-с	34-20 34-2 30-8 34+20 36+4 34+2 340+200 340+20 340-200	(30+4)+20= 34+20=(30+20)+4= 50+4=54 Заменяю число 34 суммой разрядных слагаемых 30 и 4, получился пример к сумме чисел 30 и 4 прибавить 20, здесь удобнее сначала к десяткам прибавить десятки, затем прибавить единицы
3. Прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа (а+в)=с (а+в)-с	37+5 32-8
4. Умножение суммы на число (а+в)с	Для всех случаев умножения на однозначное число (кроме случаев умножения однозначного на однозначное) 253 4675	1. 253=(20+5)3=203+53=60+15=75 2. Для письменных случаев умножения: а) умножаю единицы, подписываю под единицами; б) умножаю десятки, подписываю под десятками; в) умножаю сотни и т.д.
5. Деление суммы на число (а+в):с	Для всех случаев внетабличного деления на однозначное число 81:3 36:2 70:2 776:8 3725:5	81:3=(60+21):3=60:3+21:3=20+7=27 70:2=(60+10):2=60:2+10:2=30+5=35
6. Умножение числа на произведение а(вс)	Случаи умножения на разрядные числа 1740	1740=17(410)=17410=6810=680 17 умножаю на 4 и доумножаю на 10
7. Умножение числа на сумму а(в+с)	Случаи умножения на двузначное и трехзначное число 8534	1. Умножаю на единицы, получаю первое неполное произведение. 8535 2. Умножаю на сотни, получаю второе неполное произведение. 3. Читаю ответ
8. Деление числа на произведение 440:60 420:14 5130:90 674550:90	Случаи деления на разрядные числа (кроме случаев деления двузначного числа на двузначное)	1) 420:60=420:(106)=(420:10):6=7 2) 420:14=420:(72)=(420:7):2=30

---

20. В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т.п.

Чтобы не допускать подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.

---

Смотрите также файлы

• тексты для экзамена.doc

• Psikhologia.doc

• psikhologia_vse.docx

• Введение в педпрофессию(шпоры).docx

• Введение в педпрофессию.docx