ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.02.2019
Просмотров: 2960
Скачиваний: 46
Запишем это:
Над цифрой 8 поставлена точка, которая должна напоминать о том, что от этого числа мы «занимали» единицу. (Эту точку можно не ставить.) Остаётся из 7 сотен вычесть 4 сотни.
Ответ. Разность равна 345.
Письменное умножение многозначных чисел.
Рассмотрим различные случаи умножения многозначных чисел.
1. Умножение многозначного числа на однозначное. Например: 236 x 4.
Пользуясь распределительным законом умножения, мы можем представить 236 как сумму трёх слагаемых (200 +30 +6), умножить отдельно сотни, десятки и единицы на 4 и полученные произведения сложить:
(200 +30+6) x 4 = 200 х 4 + 30 х 4 + 6 x 4 = 800 + 120 + 24 = 944.
Однако такая запись умножения занимает много места. Поэтому принято начинать умножение с низших разрядов, а промежуточные вычисления выполнять в уме:
236 x 4 = 944.
При этом нужно рассуждать следующим образом. Начинаем умножение с единиц и говорим: 4 х 6 = 24; число 4 пишем, а 2 десятка запоминаем, чтобы потом прибавить их к произведению десятков; 3 десятка умножаем на 4, будет 12 десятков, да 2 — всего 14 десятков; 4 десятка пишем, а 10 десятков, т. е. сотню, запоминаем, чтобы потом присоединить к сотням; 2 сотни умножаем на 4, будет 8 сотен, да ещё 1 сотня — всего 9 сотен.
2. Умножение многозначного числа на число, обозначаемое единицей с нулями.Возьмём небольшое число, например 16, и умножим его на 10. Так как слагаемых не очень много, то можно заменить умножение сложением:
16 x 10 = 16+16+16+16+16+16+16+16+16 + 16=160.
Таким образом, 16 x 10 = 160. Мы видим, что это действие свелось к умножению 16 на единицу и к приписыванию нуля. Умножение на 100, на 1 000 и т. д. будет состоять в приписывании к множимому двух, трёх, четырёх и т. д. нулей. Например:
23 х 100 = 2 300, 83 x 1 000 = 83 000.
3. Умножение многозначного числа на число, у которого все цифры, кроме цифры высшего разряда, — нули. (Эти числа иногда называются «круглыми».) Умножим, например, 25 на 30. Для этого достаточно 25 умножить на 3 и к произведению приписать нуль:
25 х 30 = 750.
Ещё пример: 125 х 800. Нужно 125 умножить на 8 и приписать два нуля. Значит:
125 х 800 = 100 000.
4. Умножение многозначного числа на многозначное.
Умножим 618 на 325:
Здесь множитель — трёхзначное число. Поэтому сначала мы умножили множимое на единицы множителя (618 х 5) и получили первое промежуточное произведение 3 090; потом умножили множимое на десятки множителя (618 х 2), получили второе промежуточное произведение 1 236 и начали подписывать его под десятками первого; затем умножили множимое на сотни множителя (618 х 3), получили третье промежуточное произведение 1 854 и начали подписывать его под сотнями первых. Наконец, мы сложили три промежуточных произведения и нашли общее произведение — 200 850.
Умножим 642 на 305:
Здесь мы остановимся только на особенностях этого случая. Число 305, являющееся множителем, имеет нуль на месте десятков. На этот нуль мы тоже умножали множимое 642 и получили второе промежуточное произведение, равное нулю. Оно обозначено у нас тремя нулями, потому что мы рассуждали так: 642 х 0 = 0, так как 2 х 0 = 0; 4 х 0 = 0 и 6 х 0 = 0.
Из последнего примера мы сделаем выводы:
а) Промежуточное произведение нужно начинать подписывать под той разрядной единицей, на которую производится умножение, например, крайняя правая цифра 6 третьего произведения подписана под сотнями, потому что она получилась от умножения на сотни.
б) Нули, поставленные на месте второго промежуточного произведения, писать не следует, но нужно помнить, что крайняя правая цифра третьего произведения должна стоять под сотнями, а не под десятками, значит, общепринятая запись будет иметь вид:
Проверка умножения. Умножение можно проверить умножением; для этого следует переставить сомножители и снова их перемножить:
Деление многозначных чисел.
Рассмотрим различные случаи деления.
Случай однозначного делителя. Мы можем, представив делимое как сумму, разделить каждое слагаемое отдельно.
a) 864 : 2 = (800 + 60 + 4) : 2 = 400 + 30 + 2 = 432
б) 936 : 9 = (900 + 36) : 9 = 100 + 4 = 104.
Обычно промежуточные вычисления выполняют в уме (устно) и записывают сразу частное:
936 : 9 = 104; 124 : 4 = 31 и т. п.
Случай многозначного делителя. При делении числа на многозначный делитель могут в свою очередь представиться два случая: 1) когда частное будет однозначным; 2) когда частное оказывается многозначным.
Прежде чем перейти к рассмотрению этих случаев, разрешим такой вопрос. Как заранее узнать, когда в частном получается однозначное число и когда неоднозначное? Пусть требуется разделить 256 на 32. Умножим делитель 32 на 10, получим 320. Теперь сравним делимое 256 с числом 320. Число 256 меньше 320. Это пишется так: 256 < 320.
Значит, от деления 256 на 32 должно получиться число, меньшее десяти, т. е. однозначное число.
Рассмотрим другой пример: 516 : 43. Умножим делитель 43 на 10, получим 430. Здесь делимое 516 больше 430. Это пишется так: 516 > 430.
Значит, частное от деления 516 на 43 не может быть однозначным числом.
1) Частное однозначное. Разделим 2 244 на 374. Сначала определим число цифр частного. 374 x10 = 3 740. Данное число 2 244 < 3 740, значит, частное однозначное, т. е. оно заключено между нулём (0) и десятью (10). Как сообразить, чему оно равно? Рекомендуется мысленно отбросить в делителе справа столько цифр, чтобы в нём осталась только одна цифра, и столько же отбросить в делимом. В данном случае отбросим две последние цифры, тогда у нас останется 22 сотни, которые нужно разделить на 3 сотни. Какое здесь получится частное? Можно допустить, что частное будет равно 7, но это допущение нужно проверить. Оно, конечно, близко к 7, потому что по таблице умножения 3 х 7 = 21, но ведь мы перед делением отбросили по две цифры, в делимом и в делителе, а потому ручаться за такое частное мы не можем. Сделаем проверку: 374 х 7 = 2 618. Наши опасения оправдались: взятое нами частное оказалось велико. Испытаем теперь число, на 1 меньшее 7, т. е. 6. Выполним умножение 374 х 6 = 2 244. Полученное произведение в точности совпадает с делимым. Значит, 2 244 : 374 = 6.
Обратите внимание на то, что мысленное отбрасывание цифр мы начинаем с делителя, а не с делимого, т.е. мы отбрасываем в делителе столько последних цифр, чтобы оставалась только одна крайняя левая, а потом столько же цифр отбрасываем и в делимом.
Иногда при определении цифры частного рекомендуется первую слева цифру делителя увеличить на 1. Это бывает в тех случаях, когда вторая цифра делителя, больше 5. Попробуем разделить 29 976 на 4 996. Здесь делитель 4 996 ближе к 5 000, чем к 4 000, поэтому при отбрасывании последних трёх цифр делителя лучше брать не 4, а 5 и затем делить 29 тысяч на 5 тысяч. Так как 29 очень близко к 30, то можно взять 6 раз.
Проверим: 4 996 х 6 = 29 976. Результат совпадает с делимым. Значит:
29 976 : 4 996 = 6.
Из рассмотрения этих примеров можно сделать следующий вывод: при делении многозначного числа на многозначное для определения однозначного частного нужно, отбросив в делимом и делителе по одинаковому числу цифр справа так, чтобы в делителе осталась только одна цифра, узнать, сколько раз полученный однозначный делитель содержится в полученном новом делимом.
2) Частное многозначное. Разделим 58 296 на 347. Определим число цифр частного: 347 x 10 = 3 470, делимое 58 296 > 3 470, значит, частное больше 10.
Действие начинается с выделения в делимом стольких цифр, начиная со старших разрядов, чтобы составленное из них число было не меньше делителя. Действие принято записывать так:
Берём 582 сотни и делим на 347, получаем в частном единицу, затем вычитаем произведение 347 на 1 из 582 сотен и находим остаток 235 сотен. Для того чтобы найти десятки частного, нужно раздробить остаток 235 в десятки (это будет 2 350) и прибавить к ним число десятков, имеющихся в делимом, т. е. 9, получится 2 359. Для краткости речи говорят, что нужно к остатку «снести» 9 десятков. Делим 2 359 десятков на 347 и находим в частном 6 десятков. Вычитаем произведение 347 на 6, т. е. 2 082 десятка, из 2 359 десятков и находим остаток — 277 десятков. Для нахождения единиц частного сносим к остатку единиц делимого и получаем 2 776, делим их на 347 и получаем в частном 8. Итак,
58 296 : 347 =168.
26. Понятия задача и решение задачи в начальном курсе математики, структура текстовых задач, их конструкция.
Текстовые задачи, обычно решаемые в школьном курсе математики, по мнению Л. М. Фридмана, представляют собой словесные модели задач, в которых учащемуся необходимо найти значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной [7]. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения. При этом сложность структуры, ее индивидуальность нередко скрывает математическую общность многих задач и вынуждает каждый раз строить особое рассуждение, подходящие к данному случаю.
По определению Ю.М. Колягина, текстовой задачей является описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения [2].
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требование задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.
Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи, т.е. ответить на ее вопрос.
Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же, неодинаковые понятия:
решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;
решением задачи называют процесс нахождения этот результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения до окончания решения;
решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.
27 .Роль текстовых задач в начальном курсе математики, их классификация
В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.
Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами.
Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естествен-ном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.
Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.
Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.
Каждая задача – это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.
Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).
Традиционно все методические школы разделяют процесс обучения решению задач на 2 ступени:
1) Решение простых задач
2) Решение составных задач
Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составных задач сводится к решению ряда простых задач.
Простые задачи можно разделить на группы, в соответствии с теми арифметическими действиями, которыми они решаются.
Однако, в методическом отношении удобнее другая классификация: деление задач на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Можно выделить 3 такие группы:
1.Простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий. В этой группе 5 типов задач:
1) На нахождение суммы двух чисел 5 + 3 = 8 марок
2) На нахождение остатка 10 – 3 = ? ост
3) На нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведений)
4) Деление на равные части (8 яблок разложили на 4 тарелки поровну, сколько яблок было на каждой тарелке?)
5) Деление по содержанию (учительница раздала детям 12 тетрадей по 2 тетради каждому, сколько учеников получили тетради?)
2.Простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий.
К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов.
1) На нахождение неизвестного слагаемого (за тетради и линейки заплатили 10 р. Тетрадь стоит 2 рубля, сколько стоит линейка?)
2) На нахождение неизвестного уменьшаемого (у девочки было несколько шариков, когда она отдала 2 шарика, у неё осталось 5. Сколько шаров было сначала?)
3) На нахождение неизвестного вычитаемого (у девочки было 7 шаров, несколько шаров она отдала, осталось 5. Сколько шаров она отдала?)
4) На связи между величинами
а. цена, количество, стоимость
б. масса одного предмета, количество предметов, общая масса.
в. Расход материи на 1 изделие, количество изделий, общий расход материи.
г. ёмкость одного сосуда, количество сосудов, общая ёмкость.
д. скорость, время, расстояние.
е. длина, ширина, площадь.
ж. производительность, время, общая выработность.
3.Задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратности отношений.
1) на увеличение, уменьшение числа на несколько единиц (в прямой и косвенной форме)
2) на разностное сравнение (у Коли 9 марок, а у Пети – 7. На сколько марок у Пети меньше, чем у Коли?)
3) на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз.
4) на кратное сравнение (во сколько раз).