Файл: Гагин. Системный синтез. Линия жизни.doc

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учились математике, чуть ли не до времен Декарта (XVII в.).

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Книга абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

Излагаемый в "Книге абака"материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц: 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары ( ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц: 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц: 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через F_k, то F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21 и т. д., причем, образование этих чисел, регулируется общим законом:

F_n = F_n-1 + F_n-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу F_n-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом F_n-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Таким образом, числа F_n, образующие последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

называются " числами Фибоначчи", а сама последовательность -последовательностью Фибоначчи.

Особенность ряда чисел Фибоначчи в том, что, начиная с 1, каждое следующее число получается сложением двух предыдущих.

Но, почему эта последовательность так важна?

Дело в том, что данная последовательность, асимптотически (приближаясь, все медленнее и медленнее), стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, и представляет собой, число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), то результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875...и, через раз, то превосходящая, то не достигающая его. Но, невозможно узнать соотношение точно, до последней цифры. Краткости ради, для определённости, округлим его до1, 618.

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачоли назвал его Божественной пропорцией. Среди его названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и Отношение вертящихся квадратов. это В алгебре общепринято его обозначать греческой буквой фи

Ф =1.618

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких первых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере нашего продвижения по аддитивной последовательности Фибоначчи, каждый новый член будет все больше и больше приближаться к недостижимому Ф.

При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается обратная к 1.618 величина(1 : 1.618 =0.618). Это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение - бесконечная дробь, у такого соотношения не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

1:0.382 = 2.618

Подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи:

4.235 , 2.618 , 1.618, 0.618, 0.382, 0.236

То, что отношение рядом стоящих чисел ряда, стремится к Золотой Пропорции, установил Иоганн Кеплер, через 400 лет после открытия Фибоначчи

Отношение рядом расположенных чисел ряда Фибоначчи равно Vп / Vп-1:

2; 1,5; 1,66; 1,6; 1,625; 1.615; … 1,619; …; 1,6181; …; 1,61797; …

Полученные отношения колеблются около постоянной величины, постепенно приближаясь к ней. Разница между соседними отношениями уменьшается.

Изобразим графически:

Отношение рядом стоящих чисел Фибоначчи, в пределе, стремится к величине близкой 1,618, т. е., к Золотой Пропорции. Но, стремится с разных сторон.

Соотношение рядом стоящих чисел ряда, отражает колебательный процесс, осцилляцию, строго периодическое, со всё уменьшающейся амплитудой, уменьшение разницы в отношениях этих чисел, затухающее колебание этих отношений относительно Ф.

Это подобно самой жизни, которая вечно стремится к равновесию и никогда его не достигает, то, приближаясь, то, удаляясь от некоторой “золотой” середины.

Вообще, между числами Фибоначчи наблюдаются любопытные соотношения:

V₁+V₂+ …+V_п=V_п+2 - 1

(V₁)² + (V₂)²+…+ (V_п)²=V_п·V_п+1

(V_п)²–V_{п-1 .}V_п+1 =V_п+2.V_п-1 –V_п.V_п-1= (-1)^п

V_м+к =V_к-1 .V_м+V_к.V_м+1

Они доказываются методом математической индукции.

Интересны и такие особенности. Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём. И вообще, для каждого Nчисла Фибоначчи, делящиеся наN, встречаются периодически.

Два соседних числа Фибоначчи взаимно просты. V_mделится наV_nтогда, и только тогда, когда m делится на n.

Возвращаясь к Золотой Пропорции, следует добавить, что она удивительно инвариантна.

Так, например: _

Ф = (Ö5 +1) /2 = 1,618…

1/Ф = (Ö5-1)/2 = 0,618…

Ф² = (Ö5+3)/2 = 2.618…

Возведение в степень, не уничтожает сущности Ф.

Или:

Ф (Ф - 1) = 1 Ф² – Ф = 1 Ф - 1/Ф = 1 1/Ф² + 1/Ф = 1

_{Золотая Пропорция отражает иррациональность в пропорциях Природы, а числа Фибоначчи – целочисленность в организации Природы. Совокупность обоих закономерностей – диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного, подвижного и инертного, рационального и иррационального. Идя дальше, можно предположить: область научных изысканий, рационального, материалистического подхода – символизирует ряд чисел Фибоначчи, а область духовно-религиозную, иррационального, идеалистического подхода – Золотая Пропорция. Она является совершенством, идеалом, к которому должно стремится творческое начало.}

_{Что же представляет собой “золотая пропорция” с позиций философии?}

_{Как считает российский учёный Б. Б. Косенок, в своей работе «Философское обоснование понятия «ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ», это некое отношение между какими-либо противоположными свойствами объекта. Или, говоря другими словами, количественное соотношение между двумя противоположностями. Для понимания “золотой пропорции” он, более подробно рассматривает противоположности - как философское понятие, их взаимосвязи и свойства.}

_{Противоположности - две стороны одного и того же явления. Они находятся постоянно в противоречии друг с другом, из-за своей абсолютной полярности. Эта их противоречивость ведет к тому, что ни одна из сторон не может существовать мирно рядом с другой, хотя и принадлежат они одному и тому же предмету или явлению. Таким образом, между двумя сторонами предмета или явления, постоянно идет борьба, но противоположности не могут существовать одна без другой и каждая из противоположностей является отражением другой.}

_{Так, например, добрый человек не может быть добрым, если нет злого, иначе теряется определение Добра. Значит, зло заложено и в доброте.}

_{Все это прямо доказывает, считает учёныё, что единство противоположностей такая же реальность существования противоположностей, как и их борьба.}

_{Еще В. И. Ленин подметил, что между противоположностями может быть состояние временного равновесия, которое следует понимать в том смысле, что на каком-то этапе развития процесса ни одна из противоположных сторон не имеет заметного перевеса. В качестве примера, можно привести любую общественно-экономическую формацию, когда между противоположными классами как бы заключается общественный договор, который учитывает реальное соотношение сил.}

_{И хотя эти явления различны по своей природе, и то, и это есть достижение некоего компромисса - отношения между противоположными сторонами. Но, так как само существование противоположностей, подразумевает борьбу, то, даже кажущееся временное равновесие, является постоянной в своем развитии, перегруппировкой сил противоположностей. Меняется количественный баланс противоположных сторон, что приводит, на определенном этапе, к невозможности противоположным сторонам сохранять старые отношения (временное равновесие) и происходит скачок - качественное изменение отношений, соответствующее данному количественному соотношению сил противоборствующих сторон явления или предмета.}

_{Любой предмет или явление характеризует количество и качество. Количество и качество неразрывно связаны между собой. Качество характеризует, то чем данное явление или предмет отличаются от других. Количество характеризует предмет или явление со стороны степени развития. Единство количества и качества является мерой - границами, в которых явление (или предмет) остается самим собой.}

_{Но, установление нового баланса сил приводит к появлению нового качества явления или предмета, которое отрицает существующее качество и не изменяется до тех пор, пока количественные изменения вновь не перейдут границы, за которыми предмет перестает быть самим собой и он приобретет новое качество, отрицающее старое Таким образом, круг замкнется - происходит «отрицание отрицания».}

_{И все же, что произойдет с предметом, если одна из противоположностей выйдет победителем в этой непрерывной борьбе. В природе победа одной из стихий ведет к катастрофе, а исчезновение врагов какого-либо вида животных, ведет к вырождению этого вида. Человек является одним из немногих видов животных, которые имеют своего внутреннего врага в образе себе подобных, и это на данном этапе исторического пути человечества является движущей силой его развития. Но, что произойдет с обществом, когда исчезнут его внутренние враги - будь это противоположный класс, конкуренты или “враги народа”?}

_{В первом случае произойдет деградация победившего класса, ведь воевать не с кем, а значит, не нужны больше былая организованность и сплоченность.}

_{Во втором случае разовьется монополизм, и экономика придет в упадок. В третьем случае, исчезнет страх масс за свою свободу и наступит смутное время. Налицо полный застой и кризис.}