Файл: Статистика - теория для подготовки к экзамену.doc

Сорт конфет	Выручка (руб.) [w]	Объем реализации, кг/мес [f]
1	6600	300
2	9200	400
3	8750	350
4	5400	200
5	14800	400
6	13750	250
7	16800	300
8	16250	250
Итого:	91550	2450

x=Σw/Σf = 91550/2450=37,37

Применение средней гармонической

Один рабочий в течение дня затрачивает на изготовление одной детали 2 минуты, второй - 8 минут, третий - 6 минут. Определить средние затраты времени на изготовление одной детали.

Средние затраты времени на 1 деталь = все время/все детали

x=n/Σ(1/x)= (1+1+1)/(1/2+1/4+1/6)=3/(19/24)=3,8 мин.

4. Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые вытекают из самой формулы этой величины: х=Σx·f/Σf

Сумма отклонений индивидуального значения признака равна нулю.

Σ(x_i-x)·f_i=0

Средняя постоянная величины равна самой величине
От уменьшения или увеличения всех вариантов осредняемой величины в a раз, величина средней уменьшается или увеличивается в а раз.

x_i*=a·x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σax_i*f_i/Σf_i=a/Σf_i·Σx_if_i=a·x

От уменьшения или увеличения всех значений усредненного признака на величину а их средняя уменьшается на величину а.

x_i*=a±x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σ(a±x_i)*f_i/Σf_i=Σx_if_i/Σf_i±Σaf_i/Σf_i=x±a

От увеличения или уменьшения веса каждого варианта в А раз величина средней не изменится

f_i*=f_i/A

x*=Σx_i·(f_i*/A)/(Σf_i/A)= Σx_if_i/Σf_i=x

Величина средней зависит не от самих абсолютных значений весов отдельных вариантов признаков, а от пропорций между ними. (Это свойство подчеркивает вклад каждого признака в значение средней).

На основании этого свойства при исчислении средних величин можно использовать можно использовать не абсолютное значение весов (частот), а их относительное значение (частость, доля, т.е. удельный вес признака в общем объеме совокупности).

p_i=f_i/Σf_i

x=(Σx_i·p_i)/100% Σp_i=100%

или

x=Σx_i·p_i Σp_i=1 (доля)

Средняя величина, умноженная на объем совокупности, равна сумме произведений значений признака на частоту.

Σx_i*f_i=x_iΣf_i

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любой другой величины.

Σ(x_i-x)²f_i<Σ(x_i-B)²f_i

Σ(x_i-x)²<Σ(x_i-B)²

Σ(x_i-B)²f_i-Σ(x_i-x)²f_i =(x_i-B)²Σf_i

Σ(x_i-B)²-Σ(x_i-x)²=n(x_i-B)²

5. Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента)

Свойства средней арифметической применяются для расчета средних упрощенным способом.

Схема расчета средней методом момента.

Если возможно, уменьшаются веса вариантов в А раз
Выбирается начало отсчета или условный нуль. За условный нуль принимают значение признака, находящееся в середине ряда распределения или вариант (интервал с наибольшей частотой)
Находится отклонение вариантов от условного нуля
Если эти отклонения имеют общий множитель, то их делят на него
Вычисляют условную среднюю:

x'=[{Σ(x-x₀)/k}*f]/Σf

Корректирует условную среднюю

x=x'*k+x₀

x' - момент первого порядка

(x-x₀)/k - измененный вариант признака

Пример: Поиск условной средней. Даны группы магазинов по размеру товарооборота (в тыс. руб. в месяц)

Группы	Середина интервала [x]	Количество магазинов [f]	x₀=95 x-x₀	(x-x₀)/k=x'	(x-x₀)/kf*
до 70	65	15	-30	-3	-45
70,1-80,0	75	17	-20	-2	-34
80,1-90,0	85	13	-10	-1	-13
90,1-100,0	95	22	0	0	0
100,1-110,0	105	8	10	1	8
110,1-120,0	115	12	20	2	24
120,1-130,0	125	6	30	3	18
130,1-140,0	135	5	40	4	20
свыше 140	145	2	50	5	10
ИТОГО	-	100	-	-	-12

Определить средний размер товарооборота.

x'=(Σ(x-x₀)/k)/Σf=-12/100=-0,12

x=x'*k+x₀=-0,12*10+95=93,8 (тыс. руб.)

6. Структурные средние (мода, медиана, дециль, квартиль) Мода и медиана

Мода и медиана - две особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов. Они называются структурными средними и дают некоторое представление о структуре изучаемой совокупности.

При нормальном распределении мода, медиана и средняя совпадают по величине.

Мода и медиана, в отличие от средней, не связаны со всеми значениями признака.

Мода - значение признака наиболее часто встречающееся в ряду распределения или вариант с наибольшей частотой. Мода представляет собой наиболее типичное значение случайной величины.

Для отыскания моды в статистической совокупности необходимо знать распределение единиц совокупности по вариантам признака.

В дискретном вариационном ряду распределения мода определяется визуально, т.е. на глаз.

Оценка	2	3	4	5
количество студентов	4	10	12	5

М₀=4 f_M0=12

При наличии одной моды в ряду распределения распределение называется унимодальным. В ряду распределения может оказаться 2 и более моды. При этом ряд распределения называется соответственно бимодальным и мультимодальным.

Наличие нескольких мод часто означает объединение в одной совокупности разнокачественных единиц и возможность (необходимость в отдельных случаях) разделения последних на подгруппы.

Определение мод в интервальном ряду распределения

В равно интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

M₀=x₀+d[(f_M₀-f_M_0-1)/{(f_M₀-f_M_0-1)+(f_M₀-f_M₀₊₁)}]