Файл: Статистика - теория для подготовки к экзамену.doc

S/a₁=0

na₀+a₁x=у,

a₀x+a₁x²=xу

где n - число наблюдений , число пар Х и У

Решив эти уравнения, относительно а₀ и а₁, найдем параметры, подставив которые в уравнение связи построим прямую.

II. Kриволинейная корреляция

Если в качестве уравнения связи выбрана парабола второго порядка, то выравнивание производится по следующей функции:

у_х=a₀+a₁*x+a₂*x²

na₀+a₁x+a₂x²=у,

a₀x+a₁x²+a₂x³=xу

a₀x²+a₁x³+a₂x⁴=ух²

Вычисляем результативное значение выравненного признака по функции связи. Строим эмпирическую линию регресии.

III. Если установлено наличие обратной связи, то уравнение связи может быть гипербола.

у_х=а₀+а₁/х

na₀+a₁1/x=у,

a₀1/x+a₁1/x²=у/х

IV Обратной связью может быть и линейная лорреляция, при отрицательном значении а₁.

V. Уравнение связи - степенная функция

у_х=а₀+х^а1

lg у_х=lg a₀+a₁lg x

n lg a₀+a₁ lg x= lg у,

lg a₀* lg x+a₁ lg x²= lg x*lg у

Пример:

Рассмотрим пример определения функции связи между двумя признаками:

1. Определяем факторный и результативный признаки

2. Строим эмпирическую линию регрессии

3. Делаем предположение о возможной форме 0связи

у_х=a₀+a₁*x, у_х- выравненное значение у по х.

na₀+a₁x=у,

a₀x+a₁x²=xу

10а₀+108а₁=47,2

108а₀+1236а₁=539,1

а₁=0,432

а₀=0,16

Уравнение связи принимает вид у_х=0,16+0,432х

7.3.2. Логический смысл параметров уравнения линейной регрессии

а₀ - показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов.

а₁ - коэффициент регрессии, показывает, на сколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на единицу.

а_1(ух)=_у/_х*r_ху

ух - взаимосвязь х и у

_у - среднее квадратическое отклонение результативного признака

_х - среднее квадратическое отклонение факторного признака

r_ху - линейный коэффициент парной корреляции

Для экономической интерпретации пользуются коэффициентом эластичности, который показывает, на сколько % в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

В случае линейной зависимости коэффициент эластичности равен:

Э=а₁*х/у

При параболической зависимости коэффициент эластичности равен:

Э=(а₁+а₂х)*х/у

Одним из примеров обоснования необходимости поиска других кривых для наилучшей аппроксимации зависимости служит остаточная дисперсия:

²_ост=(у-у_х)²/n

Если остаточная дисперсия велика, необходимо искать другую аппроксимацию, другую кривую.

7.3.3 Множественная корреляция

Под множественной корреляцией понимется исследование статистической зависимости результативного признака от нескольких факторных признаков. Основная задача при этом состоит в вычислении значения переменной, соответствующей определенным значениям двух и большего числа факторов.

Особенности многофакторного анализа:

• Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ должен проводиться на большом числе наблюдений, т.к. надежность корреляционных формул зависит непосредственно от количества данных. используемых при расчетах. Исходная информация должна включаться в корреляционный расчет на основе качественного анализа.

• Число факторов, включаемых в уравнение связи, должно быть ограниченным, т.к. введение большого числа факторов делает решение задачи более сложным. В уравнение нельзя вводить факторы, находящиеся в функциональной и близкой к ней связи.

• Выбор той или иной формы связи при множественной корреляции диктуется рядом соображений:

• выбранная функция должна отражать сущность закономерности

• уравнение связи должно иметь по возможности более простой вид.

В статистической совокупности наибольшее распространение получили линейная и приведенные к линейной формы связи.

В общем виде уравнение линейной связи имеет вид:

у_{х1, х2, х3,...хn}=а₀+а₁х₁+а₂х₂+...+а_nx_n

Рассмотрим частные случаи множественной линейной корреляции:

а)Двухфакторный комплекс: результат и два фактора.

у_xz=a₀+a₁*x+a₂*z

na₀+a₁x+a₂z=у,

a₀x+a₁x²+a₂xz=xу

a₀z+a₁xz+a₂z²=уz

б) Трехфакторный комплекс.

у_xzv=a₀+a₁*x+a₂*z+a₃*v

na₀+a₁x+a₂z+a₃v=у,

a₀x+a₁x²+a₂xz+a₃xv=xу

a₀z+a₁xz+a₂z²+a₃zv=уz

a₀v+a₁xv+a₂zv+a₃v²=уv

Коэффициент линейного уравнения множественной регрессии показывает, на сколько единиц изменится функция с изменением аргумента на одну единицу, при закрепленном положении других аргументов на определенном уровне, обычно среднем.

Для интерпретации коэффициента а_i уравнения множественной регрессии используется частный коэффициент эластичности, который имеет вид:

Э=а_i*x_i/y

x_i - среднее значение i-того факторного признака

а_i - коэффициент регрессии при i-том факторном признаке

у - среднее значение результативного признака

Частный коэффициент эластичности показывает на сколько % в среднем изменится функция при изменении аргумента (регрессора) на 1% при фиксированных значениях других аргументов.

7.4. Показатели тесноты связи

Важнейшей задачей корреляционно-регрессионного анализа является измерение тесноты связи между явлениями и признаками. При этом различают две группы показателей: параметрические и непараметрические.

7.4.1 Параметрические показатели тесноты связи

• Линейный коэффициент парной корреляции

Наиболее точно характеризует тесноту связи при линейной зависимости между факторным и результативным признаками.

r_xy=(xy-x*y)/_x_y

_x - среднее квадратическое отклонение факторного признака

_y - среднее квадратическое отклонение результативного признака

xy - среднее из произведений значений х и у

Если есть ряд распределения, то ху=ху*f/f

По абсолютной величине линейный коэффициент парной корреляции не превышает 1. При r_xy=0, фактический и результативный признак независимы. Если линейный коэффициент r_xy имеет знак "+", то связь между признаками прямая, функциональная.

2. Эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирическое - рассчитанное по фактическим данным.

=²/²=(²-²_х)/²=1-²_х/² , где

²_х - средняя из групповых дисперсий, остаточная дисперсия, дисперсия за счет всех прочих (неучтенных) факторов, кроме х.

3. Теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции)

Представляет собой корреляционное отношение. вычисленное на основании результатов выравнивания у_х по некоторой линии (как прямой, так и кривой).

R - индекс корреляции, корреляционное отношение.

R=(²-²_х)/²=1-²_х/²=1-(y-y_x)²/(y-y)², где

²_х=(y-y_x)²/n, ²=(y-y)²/n