Файл: Статистика - теория для подготовки к экзамену.doc

6.3. Относительные показатели вариации

Абсолютные показатели вариации, исчисленные по различным признакам совокупности неудобны для сравнительной характеристики вариантов этих признаков. Для сравнения вариантов различных признаков или одного и того же признака в разных совокупностях применяются относительные показатели вариации. Кроме того, относительные показатели вариации используются для характеристики степени однородности совокупности по изучаемому признаку, типичности и устойчивости средней.

Принципы построения относительных показателей вариации

Коэффициент вариации = Абсолютный показатель вариации (именованный)/средняя арифметическая (мода или медина - реже)

Наименование числителя и знаменателя при исчислении коэффициента вариации должны быть одинаковыми.

Различаются три разновидности коэффициента вариации:

• Коэффициент осцилляции

V_R=R/x*100%

Пользуются этим показателем достаточно редко в силу того, что R носит случайный, неустановленный характер.

• Коэффициент вариации линейный

V_l=l/x*100%

• Коэффициент вариации

V_=/x*100%

Чаще всего коэффициент вариации показывает, какую долю или сколько процентов составляет средний показатель колеблемости по совокупности от значения средней величины.

Это позволяет судить о степени однородности совокупности по изучаемому признаку. Чем меньше значение относительного показателя вариации, тем типичнее и устойчивее средняя, и наоборот.

Если относительный показатель вариации равен нулю, то все значения признаков равны, т.е. вариация отсутствует. Если значение вариации меньше либо равно 0,3 или 30%, то колеблемость признаков совокупности слабая и средняя типична и устойчива.

Если вариация (0,3;0,6], то совокупность недостаточно однородна по изучаемому признаку и средняя недостаточно типична.

Если вариация больше 0,6, это говорит о неоднородности совокупности и о нетипичности средней.

6.4. Меры вариации для сгруппированных данных

Если совокупность неоднородна по изучаемому признаку прибегают к ее разбиению на однородные группы. Вариации сгруппированных данных также оцениваются дисперсией. В этом случае различают 3 вида дисперсий:

• Общая дисперсия результативного признака измеряет вариацию i-того признака под воздействием всех существенных факторов.

Пример: ²=(x-x)²*f/f

• Для того чтобы измерить вариацию признака внутри отдельной группы совокупности, вычисляют частные (групповые, внутригрупповые) дисперсии. Внутригрупповая дисперсия вычисляется по формуле:

²=(x-x_i)²*f/f,

где x_i - средняя, исчисленная для i-той групп

f - объем i-той группы

Групповая или частная дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет всех прочих признаков, кроме факторного признака, положенного в основу группировки. В основу группировки закладывается тот признак, который оказывает наиболее сильное влияние на величину результативного признака. Для оценки величины вариации результативного признака за счет всех прочих факторов, положенных в основу группировки средней по совокупности, вычисляется средняя из групповых дисперсий, т.е. осредняется групповая дисперсия.

²=_i²*F_i/F_i,

где _i² - частная дисперсия i-той группы

F_i - объем i-той группы

F_i - объем совокупности

• Межгрупповая дисперсия

Это дисперсия результативного признака за счет факторного, положенного в основу группировки. Факторный признак, являющийся основанием группировки должен быть самым весомым

²=(х_i-х)²*F_i/F_i

х_i- средняя i-той группы

х - средняя по совокупности

Межгрупповая дисперсия служит мерой измерения колеблемости частных средних вокруг общей средней

Правило сложения дисперсии

²_общ=²+²

²_общ - за счет всех факторов

² - за счет всех факторов, кроме фактора, положенного в основу груп пировки

² - за счет фактора, положенного в основу группировки.

Общая дисперсия результативного признака = сумма средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

Зная значение ²_общ и ², т.е. общей и межгрупповой дисперсий, вычисляют корреляционное отношение: =²/²

Корреляционное отношение () применяется для оценки степени взаимосвязи между признаками.

²/² - доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Коэффициент детерминации (²=²/²) показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем теснее связаны между собой факторный и результативный признаки.

1. Чем ближе  к единице, тем сильнее взаимосвязь между факторным и результативным признаками. Чем ближе  к нулю, тем слабее связь между этими признаками.

Знак корреляционного отношения исследователь ставит самостоятельно, определив характер изменения признака. Если признаки меняются в одном направлении, знак  +, если в разных, то  -.

Рассмотрим некоторые случаи анализа корреляционных отношений и правила сложения дисперсии.

²_общ=²+²

=²/²

1. Если ²=0, то ²_общ=², =1

Это значит, что вариация результативного признака обусловлена воздействием только фактического признака, положенного в основу группировки, а вариация за счет всех прочих факторов равна нулю.

1.1.Если =+1, связь между признаками полная прямая

1.2.Если =-1, связь между признаками полная обратная.

2. ²=0; ²_общ=²

Тогда =0, это значит , что связь между фактическим признаком, положенным в основу группировки, и результативным признаком отсутствует, т.е. исследователь выбрал факторный признак, оказывающий наибольшее влияние на результативный.

Пример расчета показателя вариации для сгруппированных данных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

6.5. Математические свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю

2.Если величину признака уменьшить на постоянную величину А, то величина дисперсии не изменится

3.Если все значения варианта уменьшить в k раз, то значение дисперсии уменьшится в раз.

6.6. Расчет дисперсии упрощенным способом

Для расчета дисперсии упрощенным способом используют её свойства. При этом последовательно выполняется ряд шагов:

1. Выбирается условный нуль – вариант , находящийся в середине ряда распределения или вариант с наибольшей частотой.

2. Все значения признака уменьшаются на величину А – условный нуль, т.е. находится отклонение вариантов признака от условного нуля.

3. Все отклонения значений от условного нуля уменьшаются в k раз, часто за k принимают величину интервала или значение, кратное величине отклонения. В результате этих действий получают ряд распределения от условной величины ,равной

4.Исчисляют условную среднюю

5.Исчисляют среднюю из квадратов условных величин

6.Исчисляется условная дисперсия.

7.Исчисляется дисперсия от величины х:

Пример: