Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

A= .

Шаг 4. Совершаем те же действия над матрицей

B=,

совершая их на самом деле над всей матрицей. Т.е., если в матрице B какой-либо столбец равен нулю, то мы вычёркиваем его во всей матрице A. В результате мы получим матрицу вида

A= .

Шаг 5. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей

,

совершая на самом деле их над всей матрицей A.

В конечном итоге мы получим матрицу вида

, (1.12)

определитель которой равен 1. Сколько в этой матрице осталось строк и столбцов, таков и ранг матрицы. Для того, чтобы указать в исходной матрице A базисный минор, надо вспомнить какие номера в ней имели оставшиеся не вычеркнутыми строки и столбцы. В этих сроках и столбцах находится базисный минор.

В процессе преобразований мы вычеркнули все строки, которые не были базисными, т.е. они превратились в нулевые. До этого мы прибавляли к ним другие строки, домноженные на некоторые числа. Получается, что небазисные строки являются линейной комбинацией тех строк, которые мы к ним прибавляли. Мы могли совершать элементарные преобразования над столбцами матрицы и прийти к аналогичному выводу для столбцов. Отсюда вытекает теорема.

Теорема 1.4. (О базисном миноре) Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк, а любой столбец – линейной комбинацией базисных столбцов.

Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 1.5. (О ранге матрицы) Ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов и равен рангу матрицы.

Мы можем продолжить элементарные преобразования матрицы (1.12) и с помощью единиц, стоящих на диагонали занулить все элементы, обозначенные звёздочками. В результате мы получим единичную матрицу. Тем самым мы базисный минор можем привести к виду единичной матрицы. Если исходная матрица A является квадратной и для неё detA0, то этот определитель и будет её базисным минором. При этом все столбцы будут базисными, и нам не придётся вычёркивать столбцы в процессе элементарных преобразований. Отсюда вытекает теорема.

Теорема 1.6. Если для квадратной матрицы detA0, то с помощью элементарных преобразований одних только строк матрицы мы можем привести эту матрицу к виду единичной матрицы.

Если не вычёркивать столбцы в матрице, но допускать их перестановку, то с помощью элементарных преобразований строк мы можем привести матрицу к виду

.

Для этого нам понадобится на первое место переставить базисные столбцы. Все оставшиеся не вычеркнутыми строки будут базисными и их количество равно рангу матрицы. Этот результат окажется нам очень полезным, когда мы будем вести речь о решении СЛУ методом Гаусса. Затем, с помощью выделенных единиц мы можем занулить все стоящие выше их элементы и наша матрица примет вид

. (1.13)

Теорема 1.4. Если для квадратной матрицы detA=0, её строки столбцы линейно зависимы (без доказательства).

§12. Умножение матриц.

Пусть

a= и b = –

строка и столбец, состоящие из одинакового количества элементов. Определим

a·b = a₁b¹+a₂b²+… +a_nbⁿ=(;\s\do10(i =1a_ibⁱ.

Пусть теперь A – матрица размера mk, а B – матрица размера kn, т.е. количество столбцов в матрице A равно количеству строк в сматрице B, или, что то же самое, длина сроки матрицы A равна высоте столбца в матрице B. Тогда мы можем умножать строки матрицы A на столбцы матрицы B. Пусть aⁱ=  i-ая строка матрицы A, а b_j = – j-ый столбец матрицы B. Обозначим

cj;i = aⁱ·b_j = a1;ibj;1 + a2;ibj;2 +… + bj;nan;i=(;\s\do10(k=1ak;ibj;k, i=1,…,m, j=1,…, n.

Числа образуют матрицу C размера mn, которая называется произведением матриц A и B:

C=AB = .

^{Пример.} A= , B = , X =

AX = = .

Таким образом, матричное равенство AX=B в развёрнутом виде представляет собой систему линейных уравнений

Свойства операции умножения матриц.

1. Умножение матриц не коммутативно. Если определено произведение AB, то произведение BA может быть не определено. Если определены оба произведения, то они могут иметь разный размер. Например, если A и B имеют размеры 23 и 32, то AB имеет размер 22, а BA имеет размер 33; получается, что эти матрицы вообще нельзя сравнивать.

Даже, если оба произведения AB и BA определены и имеют одинаковый размер, то может получиться ABBA. Например,

= , = .

2. Если A – квадратная матрица порядка n, а E – единичная матрица того же порядка, то AE=EA=A.

3. AO=O, OA=O (если определены соответствующие произведения).

4. Умножение матриц ассоциативно. Если определены произведения AB и (AB)С, то определены произведения BC и A(BС); при этом, (AB)С= A(BС).

5. Если имеет смысл A(B+С), то A(B+С)=AB+AС. Если имеет смысл (A+B)С, то A(B+С)=AС+BС.

6. (AB)= (A)B= A(B).

7. Если определено произведение AB, то определено B^TA^T и выполнено AB=B^TA^T.

Теорема 1.7. Ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей: rankABrankA, rankABrankB.

Теорема 1.8. Если A и B – квадратные матрицы одного порядка, то detAB=detA·detB.

§13. Обратная матрица.

Определение. Матрица X называется обратной к матрице A, если

AX=XA=E (1.14)

В этом случае пишем X=A^1.

Из определения сразу же следует, что обе матрицы и должны быть квадратными одного порядка n. По теореме 6

detA·detX=detE=1.

Значит, обязательно detA0. Это есть необходимое условие существования матрицы, обратной к матрице A. Оказывается, это условие является так же и достаточным.

Теорема 1.9. Если detA0, то для матрицы A существует, и притом единственная, обратная к ней матрица X.

Доказательство. Пусть порядок матрицы A равен n. Выберем произвольный номер j от 1 до n. Пусть e_j – j-ый столбец матрицы E. Равенство AX=E говорит нам о том, что e_j должен получаться в результате умножения матрицы A на x_j – j-ый столбец матрицы X:

= .

Здесь единица в столбце e_j находится в j-ой строке. Если перемножить матрицы, получим СЛУ

(1.15)

Матрица этой системы – это матрица A. Согласно правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Значит, все числа из столбца x_j однозначно определены. Поскольку мы выбирали произвольный номер столбца, то и все столбцы матрицы X однозначно определены. Значит, однозначно определена и матрица X, удовлетворяющая условию AX=E.

Докажем, что для этой же матрицы будет выполняться и XA=E. Поскольку detA0, то существует, и притом единственная, матрица Y такая, что

XY=E. (1.16)

Домножим обе части последнего равенства слева на матрицу A:

AXY=AE.

Мы уже знаем, чтоAX=E, поэтому получаем EY=A  Y=A. Подставим это равенство в (1.16) и получим XA=E.

Следующая теорема даёт нам готовую формулу для нахождения обратной матрицы.

Теорема 1.10. Для невырожденной квадратной матрицы А

А^1= .

Таким образом, для того, чтобы составить А^1, мы на место каждого элемента матрицы А ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем (т.е. превращаем строки в столбцы), и затем умножаем на (det А)^1.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательное утверждение.

Лемма. Сумма произведений элементов одной строки (одного столбца) матрицы на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

Доказательство. Пусть i, j – произвольные номера от 1 до n. Заменим в матрице A i-ую строку на j-ую (а сама j-ая строка останется на месте). Новую матрицу обозначим A. В ней есть две одинаковые строки  detA=0. Раскроем detA по i-ой строке и получим равенство:

a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i=0,

потому, что элементы i-ой строки в A на самом деле совпадают с элементами j-ой строки в матрице A. Утверждение для столбцов доказывается аналогично.

Доказательство теоремы 1.10. Обозначим Y – матрица, составленная из алгебраических дополнений и транспонированная. Обозначим [AY]j; i – элемент матрицы AY, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце. Он получается в результате умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы Y, который состоит из алгебраических дополнений j-ой строки матрицы A. Т.е.

[AY]j; i= a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i.

Согласно лемме это выражение равно нулю, если ij. Если i=j, то это выражение совпадает с правой частью формулы (3), т.е. оно равно detA. Таким образом, в матрице A на главной диагонали стоят числа равные detA, а вне диагонали стоят нули. Это значит, матрица

(AY) = A