Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

Согласно предположению индукции, векторы x₁, x₂,…, x_k1 линейно независимы. Значит, все коэффициенты в последней линейной комбинации равны нулю:

₁(_k ₁)=₂(_k ₂)=…=_k1(_k _k1)=0.

Поскольку все числа ₁, ₂,…, _k различные, то неизбежно выполняется

₁=₂=…=_k1=0.

Тогда из равенства (_*) следует _kx_k=o;¯. Собственный вектор по определению не является нулевым. Значит, _k=0. Итак, в равенстве (_*) все коэффициенты равны нулю, а значит векторы x₁, x₂,…, x_k линейно независимы.

Предложение 7. Если A и A  матрицы одного и того же оператора в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают.

Доказательство. Пусть С  матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда A=С^1AС. Кроме того, очевидно что E=С^1EС. Отсюда получаем

det(AE)=det(С^1AСС^1EС)=det(С^1(AE)С)= =detС^1det(AE)detС=det(AE).

Это предложение позволяет нам говорить о характеристическом многочлене линейного оператора, а не его матрицы.

Предложение 8. Пусть собственное число _o является корнем характеристического многочлена кратности s. Тогда ему соответствуют не более чем s линейно независимых собственных векторов (без доказательства).

Корню кратности может соответствовать меньше, чем s собственных векторов.

Пример. Пусть матрица оператора в некотором базисе имеет вид

A=.

Характеристическое уравнение:

= 0  (1)³=0

имеет один корень ₁=1 кратности 3. Матрица A₁E и система уравнений для нахождения собственных векторов имеют вид:

A₁E= ;

Этой системе удовлетворяет только один (с точностью до пропорциональности) собственный вектор u(1, 0, 0).

Теорема 5.1. Если линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ имеет n различных собственных значений, то существует базис в пространстве Lⁿ относительно которого оператор задаётся диагональной матрицей.

Доказательство. Пусть линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ имеет n различных собственных значений ₁, ₂,…, _n. Тогда согласно предложению 6, соответствующие собственные векторы x₁, x₂,…, x_n линейно независимы, а значит они образуют базис в Lⁿ. Имеем

Значит, матрица оператора A имеет вид в данном базисе:

A=.

Следствие. Если все корни характеристического многочлена матрицы A различны, то существует такая невырожденная матрица С, что матрица С^1AС является диагональной.

§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Напомним, что евклидово пространство отличается от просто векторного пространства тем, что в евклидовом пространстве определена ещё одна операция: скалярное произведение векторов. Эта операция должна удовлетворять требованиям аксиом A11–A14 (§5 главы 3). Эта операция позволяет определить длину вектора, понятие ортогональных векторов, а следовательно, и понятие ортонормированного базиса.

Определение. Пусть Eⁿ  евклидово пространство, A:E^{n –} Eⁿ – линейный оператор, действующий в нем. Оператор B:E^{n –} Eⁿ называется сопряжённым к оператору A, если для любых векторов x, yEⁿ выполнено

(Ax)·y=x·(By). (5.9)

Тогда пишем B =A^*.

Выберем в Eⁿ ортонормированный базис {e₁, e₂,…, e_n}, и пусть A и A^* – матрицы операторов A и A^* в этом базисе. Тогда для любых i, j=1,…, n должно выполняться

(Ae_i)·e_j=e_i·(A^*e_j)  (5.10)

 (ai;1e₁+ ai;2e₂+…+ ai;ne_n)·e_j=e_i·( a^*j;1e₁+ a^*j;2e₂+…+ a^*j;ne_n) 

 ai;j = a^*j;i . (5.10)

Таким образом, A^*=A^T (при условии, что базис является ортонормированным). Отметим, что мы установили равенство

ai;j =(Ae_i)·e_j. (5.11)

Предложение 9. Каждый линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеет сопряжённый оператор, и притом только один.

Доказательство. Пусть A:E^{n –} Eⁿ – линейный оператор. Выберем в пространстве Eⁿ ортонормированный базис и определим оператор A^*:E^{n –} Eⁿ с помощью матрицы A^T. Тогда выполняется (5.10) для любых i, j=1,…, n. Нам же надо доказать, что аналогичное равенство выполняется не только для базисных векторов, но и для произвольных x, yEⁿ. Имеем

(Ax)·y=((;\s\do10(i=1xⁱAe_i)·((;\s\do10(j=1y^je_j)=(;\s\do10(ixⁱy^j(Ae_i)·e_j,

x·(A^*y)=((;\s\do10(i=1xⁱe_i)·((;\s\do10(j=1y^jA^*e_j)=(;\s\do10(ixⁱy^j(A^*e_i)·e_j.

Правые части этих равенств равны, а значит, равны и левые части.

Свойства операции сопряжения (без доказательства).

1. J^*=J; 4. (A)^*=A^*;

2. (A^*)^*=A; 5. (AB)^*=B^*A^*;

3. (A+B)^*=A^*+B^*; 6. если A – обратимый, то (A^1)^*=(A^*)^1.

Определение. Оператор A:E^{n –} Eⁿ называется самосопряжённым или симметрическим, если A^*=A.

Пусть в Eⁿ выбран ОНБ, и A  матрица оператора A. Мы знаем, что матрица оператора A^* есть A^T. Значит для самосопряжённого оператора выполняется A=A^T. Таким образом, относительно ортонормированного базиса матрица самосопряжённого оператора является симметрической.

Свойства самосопряжённых операторов.

1. Тождественный оператор является самосопряжённым.

2. Если операторы A и B являются самосопряженными, то операторы AB, A и BA являются самосопряжёнными. При этом, BA=AB.

3. Если самосопряжённый оператор A обратим, то оператор A^1 тоже является самосопряжённым.

Теорема 5.2. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора являются действительными (без доказательства).

Это утверждение равносильно тому, что все корни характеристического многочлена симметрической матрицы являются действительными.

Теорема 5.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным числам ортогональны.

Доказательство. Пусть ₁₂ – собственные числа, x, y – соответствующие собственные векторы. Тогда с одной стороны

(Ax)·y=(₁x)·y=₁(x·y).

С другой стороны

(Ax)·y=x·(Ay)=x·(₂y)=₂(x·y).

Значит,₁(x·y)=₂(x·y) при ₁₂  x·y=0.

Теорема 5.4. Если подпространство E^Eⁿ инвариантно относительно действия самосопряжённого оператора A:E^{n –} Eⁿ, то подпространство (E^)^ тоже является инвариантным.

Доказательство.Пусть xE^ – произвольный вектор. Тогда по условию теоремы AxE^. Значит, для любого y^(E^)^ выполнено (Ax)·y=0. Но (Ax)·y=x·(Ay). Поэтому для произвольных xE^, y^(E^)^ выполнено x·(Ay)=0. Значит Ay(E^)^ для любого y^(E^)^.

Определение. Если подпространство E^Eⁿ инвариантно относительно действия оператора A:E^{n –} Eⁿ, то мы можем рассмотреть оператор B:E^{ –} E^, который действует по правилу Bx=Ax, для xE^. Такой оператор называется ограничением оператора A на подпространство E^ и обозначается A_E. Другими словами: мы забываем, что существуют ещё какие-то векторы за пределами E^ и рассматриваем действие оператора только на E^.

Пусть теперь оператор A:E^{n –} Eⁿ является самосопряжённым и E^ – инвариантное подпространство. Поскольку в E^ такое же скалярное произведение, что и во всём Eⁿ, то ограничение A_E тоже будет самосопряжённым оператором, только действующим на пространстве меньшей размерности. Все векторы, собственные для оператора A_E, являются собственными и для оператора A.

Теорема 5.5. Пусть A:E^{n –} Eⁿ – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве Eⁿ существует ОНБ, состоящий из собственных векторов оператора A. Тем самым, с помощью выбора ОНБ в Eⁿ, мы можем матрицу самосопряжённого оператора привести к диагональному виду.