Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

является единичной.

§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

(1.16)

Как мы уже выяснили, систему (5.1) можно записать в виде одного матричного равенства:

АX = B. (5.2)

Где

А = , X = , B = .

Предположим, что матрица А не вырождена. Умножим обе части равенства (4.2) слева на обратную матрицу А^1:

А^1(АX)=А^1B

По свойству ассоциативности это равносильно

(А^1А)X = А^1B  EX = А^1B  X = А^1B. (5.3)

Тем самым, если мы знаем обратную матрицу, мы можем вычислить столбец решений.

Пример. Найти решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение. Составляем матрицу данной системы:

А = .

Вычисляем алгебраические дополнения. При этом стараемся располагать их на листе бумаги так же, как расположены элементы матрицы. При этом важно помнить, что следует поставить знак минус в тех случаях, когда i+j нечётно.

A₁₁ = = –19 A₁₂ = – = –1 A₁₃ = = 14

A₂₁ = – = –3 A₂₂ = = –2 A₂₃ = – = –7 (5.4)

A₃₁ = = 7 A₃₂ = – = –7 A₃₃ = = –7

После того, как уже найдены алгебраические дополнения, мы можем вычислить определитель матрицы А с помощью разложения по первой строке:

det А = a₁¹A₁₁ + a₂¹A₁₂ + a₃¹A₁₃ = 1·(19) + 2·(–1) + (1)·14 = – 35.

(мы умножаем каждый элемент первой строки матрицы на его алгебраическое дополнение и получившиеся числа складываем). Точно так же можно использовать разложение по любой другой строке.

Выписываем матрицу А^1, и при этом не забываем, что элементы первой строки в вычислениях (4.4) записываются в первый столбец, второй строки  во второй столбец, третьей строки – в третий столбец:

А^1=

Находим решение по формуле (4.3):

X = А^1B =  =

=  =  =

Тем самым мы нашли, что

=  x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 0.

Прежде, чем писать ответ, делаем проверку:

Ответ: (1, 2, 0).

Если проверка не получается.

1. Проверьте, не забыли ли вы поставить знак минус при вычислении алгебраических дополнений.

2. Проверьте, не забыли ли вы при составлении обратной матрицы выписать алгебраические дополнения по принципу: строка – в столбец.

3. Проверьте, не пропустили ли вы при составлении самой матрицы А где-нибудь знак минус.

4. Проверьте, правильно ли вы переписали условие.

5. Пересчитайте ещё раз алгебраические дополнения.

6. Пересчитайте det А.

7. Если по-прежнему проверка не получается, проверьте правильность составления А^1 путём умножения матриц: АА^1= E. Если, например, при умножении 1 строки матрицы А на второй столбец матрицы А^1 получается не 0, а другое число, то ошибку следует искать во втором столбце матрицы А^1. Аналогично, сделав проверку А^1А = E, мы можем определить номер строки в А^1, в которой содержится ошибка. Если вместо единичной матрицы получается диагональная матрица, у которой на диагонали стоит не 1, а другое число, то неверно найден det А.

§15. Ортогональная матрица.

Определение. Квадратная матрица Q называется ортогональной, если Q^TQ=E.

Из определения сразу следует, что для ортогональной матрицы Q^T=Q^1. Это значит, что также выполнено QQ^T=E.

Элемент [QQ^T]j; i получается в результате умножения i-ой строки матрицы Q на j-ый столбец матрицы Q^T, который состоит из элементов j-ой строки матрицы Q. Согласно определению [QQ^T]j; i=j; i. Итак, мы имеем, что произведение каждой строки матрицы Q на себя должно давать 1, а произведение двух разных строк должно давать 0:

(q1; i)²+(q2; i)²+ … +(qn; i)²=1;

q1; iq1; j+q2; iq2; j+ … +qn; iqn; j=0, ij.

Из определения также получаем, что

detQ^T·detQ=detE=1.

Но detQ^T=detQ  (detQ)²=1. Значит, для ортогональной матрицы detQ=1.

Примеры ортогональных матриц:

.

Строки ортогональных матриц порядка 3 представляют собой координаты трёх единичных взаимно перпендикулярных векторов в пространстве.

Предложение 5. Если Q₁ и Q₂– ортогональные матрица, то матрицы Q₁^T и Q₁Q₂ тоже являются ортогональными.

Докажем для примера только второе утверждение:

(Q₁Q₂)^T=Q₂^TQ₁^T=Q₂^1Q₁^1=(Q₂Q₁)^1.

Предложение 6. Любая ортогональная матрица порядка 2 представима в виде

, если detQ=1,

, если detQ=1.

Задания для самостоятельного решения.

Номер варианта выбирается согласно порядковому номеру студента в журнале преподавателя.

I. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера. Сделать проверку.

^1.

^2.

^3.

^4.

^5.

^6.

^7.

^8.

^9.

^10.

^11.

^12.

^13.

^14.

^15.

^16.

^17.

^18.

^19.

^20.

^21.

^22.

^23.

^24.

^25.

^26.

^27.

^28.

^29.

^30.

II. Решить систему линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера;

б) с помощью обратной матрицы.

^1.

^2.

^3.

^4.

^5.

^6.

^7.

^8.

^9.

^10.

^11.

^12.

^13.

^14.

^15.

^16.

^17.

^18.

^19.

^20.

^{21. 26.}

^{22. 27.}

^{23. 28.}

^{24. 29.}

^{25. 30.}

Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.

Комплексные числа впервые возникли в связи с необходимостью иметь решение для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Впоследствии они нашли широкое применение во всех разделах математики и физики.

Определение. Обозначим i=. Число i называется мнимой единицей. Таким образом, выполнено i²=1.

Определение. Комплексным числом называется формальное алгебраическое выражение вида z=a+bi, где a, bR. Число a называется действительной частью, выражение bi – мнимой частью. Обозначаем a=Rez, bi=Imz. Совокупность всех комплексных чисел обозначаем C.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i. Тогда сумма, разность и произведение этих чисел определяется так:

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i, z₁z₂=(a₁a₂)+(b₁b₂)i,

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²=