Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

§2. Базис и координаты в векторном пространстве

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9. Существуют n линейно независимых векторов;

А10. Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dimL=n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Lⁿ.

Определение. Базисом в Lⁿ называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, а xLⁿ – любой вектор. Тогда система {x, e₁, e₂,…, e_n} состоит из n+1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть

_ox +₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n = o, (3.3)

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно _o0. Действительно, предположим противное: _o= 0. Тогда среди ₁, ₂,…, _n есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:

₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Поэтому _o0. Тогда из (3.3) получаем

x = e₁+ e₂ +…+ e_n .

Обозначим x_i = –_i /_o, i = 1,…, n, и получим что

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n . (3.4)

Определение. Выражение (3.4) называется разложением вектора x по базису B. Числа x¹, x²,…, xⁿ называются координатами вектора x в базисе B. Пишем: x(x¹, x²,… xⁿ)_B.

Докажем, что разложение (2) единственно. Предположим, что существует ещё одно разложение вектора x:

x = y¹e₁+ y²e₂ +…+ yⁿe_n . (3.4)

Вычтем (3.4) – (3.4):

o = (x¹  y¹)e₁+ (x²  y²)e₂ +…+ (xⁿ  yⁿ)e_n . (3.5)

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, которая равна нулевому вектору. Базисные векторы линейно независимы  эта комбинация является тривиальной, т.е. все скобки в (3.5) равны нулю. Значит x¹=y¹, x²=y²,…, xⁿ=yⁿ, т.е. (3.4) совпадает с (3.4).

Если y = y¹e₁+ y²e₂ +…+ yⁿe_n , то

x + y = (x¹+ y¹)e₁+ (x² + y²)e₂ +…+( xⁿ + yⁿ)e_n ,

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x¹, x²,… xⁿ) столбец, составленный из его координат:

x(x¹, x²,… xⁿ)  X = , y(y¹, y²,… yⁿ)  Y = ,

x + y  X +Y = , x  X = .

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Lⁿ устроено точно также, как и Rⁿ. Говорят, что Lⁿ изоморфно Rⁿ или, что Rⁿ является моделью пространства Lⁿ.

Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.

§3. Преобразование координат

Пусть в векторном пространстве Lⁿ вместо базиса B ={e₁, e₂,…, e_n} выбран новый базис B  ={e₁^, e₂^,…, e_n^}. Пусть x(x¹, x²,…, xⁿ)_B – координаты произвольного вектора x в первом базисе (назовём их старыми координатами), x(x¹, x²,…, xⁿ)_{B } – координаты этого же вектора во втором базисе (новые координаты). Требуется найти связь между этими координатами.

Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса по первому базису:

(3.7)

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

С = .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Пишем B –(;\s\up8(С B . Имеем два разложения вектора x:

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n . (3.4)

x = x¹e₁^+ x²e₂^ +…+ xⁿe_n^ . (3.8)

Подставим в (3.8) разложения (3.7):

x = x¹(с₁¹e₁ + с₁²e₂ +…+ с₁ⁿe_n) + x²(с₂¹e₁ + с₂²e₂ +…+ с₂ⁿe_n) +…+

+ xⁿ(с_n¹e₁ + с_n²e₂ +…+ с_nⁿe_n) .

Раскроем скобки с сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

x = (с₁¹x¹ + с₂¹x² +…+ с_n¹xⁿ₎e₁ + (с₁²x¹ + с₂²x² +…+ с_n²xⁿ₎e₂ +…+

+ (с₁ⁿx¹ + с₂ⁿx² +…+ с_nⁿxⁿ₎e_n .

Сравниваем теперь это разложение с разложением (3.4). В силу единственности разложения выполнено

(3.9)

Если обозначить

X = , X = . 

столбцы, составленные из координат вектора (координатные столбцы), то (3.9) можно переписать в матричном виде:

X = CX, (3.9)

Из автоматически получаем формулы прямой замены координат:

X = C^1X. (3.10)

В развёрнутом виде эти формулы выглядят также, как и (3.9), только штрихи у координат стоят в левой части формул, а вместо элементов матрицы C используются элементы матрицы C^1.

Если по условию задачи нам известны старые координаты вектора x, то (3.9) представляет собой СЛУ, где новые координаты (x¹, x²,…, xⁿ) являются неизвестными, а (x¹, x²,…, xⁿ) – это свободные члены. Равенство (3.10) – это решение этой СЛУ с помощью обратной матрицы.

§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы.  x, y, z L и R

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z ;

А13. (x)·y= (x·y);

А14. x·x0 и x·x=0  x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x²=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение Eⁿ означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14.  xL  yL такой что x·y0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.