Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

Переставим второе уравнение на первое место. Зададимся далее вопросом: на какое число надо это уравнение домножить, чтобы в результате сложения со вторым (по новому порядку) уравнением у нас сократилось x₁? Ответ очевиден: надо перед сложением первое уравнение домножить на 3. Точно также, определяем, что перед сложением с третьим уравнением надо первое домножить на 4. Мы совершаем указанные выше действия. При этом, первое уравнение само остаётся без изменений. Данные действия мы обозначаем стрелочками:

Если вы не обладаете достаточными вычислительными навыками, вы можете отдельно в стороне от общего решения совершить указанные выше действия по частям. А именно, сначала умножьте первое уравнение на 3, а затем уже сложите его со вторым уравнением; сначала умножьте первое уравнение на 4, а затем сложите его с третьим уравнением. При оформлении решения оставьте эти действия на черновике.

Далее мы видим, что второе уравнение можно разделить на 7. Но это удобнее сделать только после того, как мы к третьему уравнению прибавим второе. Данные действия тоже обозначаем.

:(7)

Далее мы рисуем фигурную скобку на три строчки и начинаем писать с последней строчки: x₃=0. Затем пишем на второй, выражая x₂, а в конце  на первой, выражая x₁.

^{Проверка}^:

Ответ: (1,2,0).

^Пример^2. ^:2

Последнее уравнение мы можем вычеркнуть. У нас число уравнений оказалось меньше числа неизвестных. Любую из неизвестных x₂или x₃мы можем перенести в правую часть и придать ей произвольное значение, например, 0 или 1 (как вам покажется более удобным). В нашей системе удобнее перенести x₃в правую часть и придать ей значение x₃=0. Затем мы найдём соответствующие значения x₁и x₂:

То, что мы нашли, называется частным решением системы. Но оно не является единственным: мы могли придать вместо x₃ любое другое значение и получить другой ответ. Общее решение системы ищется следующим образом. Мы придаём не числовое значение, а значение произвольного параметра, а потом находим соответствующие значения x₁и x₂ (которые тоже будут зависеть от этого параметра):

Ответ: (810a, 3+7a,a), aR.

Пример 3. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и выписать фундаментальную систему решений.

Будем искать решение по методу Гаусса. Составим матрицу этой системы.

Напомним, что к элементарными преобразованиям строк матрицы относятся:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число;

4) вычёркивание строки, состоящей целиком из нулей.

Элементы, выделенные жирным шрифтом, образуют диагональ. Наша цель – с помощью элементарных преобразований строк матрицы занулить элементы, стоящие ниже диагонали; т.е. мы пытаемся привести матрицу к виду

Если при этом у нас получается строка, состоящая полностью из нулей, мы её вычеркиваем (на практике, если получим две одинаковые или пропорциональные строки, то можно вычёркивать одну из них; если таких строк будет три – можем вычеркнуть две из них). При этом, может возникнуть и любая из двух следующих ситуаций.

Главное – добиться, чтобы мы могли выделить в оставшейся матрице треугольный минор, на диагонали которого все числа не равны нулю. Такой минор составляют обведенные столбцы. Этот минор называется базисным. В каждом из случаев, мы можем вместо второго столбца взять первый. Во втором случае мы можем вместо третьего столбца взять четвёртый.

Первым действием мы пытаемся получить нули в первом столбце ниже диагонали. Для этого сначала мы выбираем строку, которую мы поставим на первое место. В ней первый элемент желательно должен быть равен 1, но точно не ноль. Возможно, для этого потребуется разделить какую-либо строку на целое число. Мы поставим на первое место вторую строку. Затем мы к новой второй строке прибавляем первую, умноженную на –2, к третьей – первую, умноженную на 3, а к четвёртой – первую умноженную на 2. При этом, сама первая строка остаётся без изменений. Эти действия обозначаются следующим образом:



Вторым действием мы пытаемся получить нули во втором столбце ниже диагонали. Наши действия уже показаны выше. Возможно, в вашей индивидуальной задаче предварительно надо будет переставить строки, или какая-либо строка делится на целое число.

Мы разделили 3 строку на 2, а 4 строку – на 7. Получили две одинаковые строки. Одну из них можем вычеркнуть. Вторую строку умножим на 1.

Базисный минор обведён. Неизвестные, коэффициенты около которых входят в базисный минор, называются базисными, а все остальные  параметрическими. Мы вновь возвращаемся к системе линейных уравнений и составляем её по последней матрице. Базисные неизвестные, при этом, остаются в левой части, а параметрические неизвестные переносим в левую часть. После этого параметрическим неизвестным придаём значения произвольных параметров (можно сразу писать вторую из следующих систем).

Подставляем значение x₃во второе уравнение и находим x₂; подставляем значение x₂в первое уравнение и находим x₁:

X=(7₁+2₂,₁₂,₁+2₂,₁,₂),₁,₂R  общее решение системы.

Подставляя вместо ₁и ₂конкретные числа, мы будем получать частные решения. Подставляя в общее решение следующие частные значения параметров, получаем решения

₁=1, ₂=0, X₁=(7,1,1,1,0),

₁=0, ₂=1, X₂=(2,1,2,0,1).

Тогда {X₁,X₂}– фундаментальная система решений (базис в пространстве решений). Произвольное частное решение системы можно представить в виде линейной комбинации решений, входящих в фундаментальную систему. Например, Y=1·X₁2X₂= (3,3,3,1,2) – частное решение. Следующая запись называется разложением общего решения по базису: