Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

25

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Витебский государственный университет им. П.М.Машерова»

Аналитическая геометрия и высшая алгебра

КУРС ЛЕКЦИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Для самостоятельной работы студентов физического факультета

Витебск 2010

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

наук М.Н.Подоксенов

Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,

кандидат физико-математических наук Л.В.Командина

Подоксенов М.Н.,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. КУРС ЛЕКЦИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: Электронный ресурс/ М.Н.Подоксенов.– Витебск: Издательство УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2010.–135 с.

Данное учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Аналитическая геометрия и высшая алгебра» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика» (по направлениям). Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

ISBN  Подоксенов М.Н., 2010.

Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицу принято обозначать большой буквой латинского алфавита, а её элементы – такой же маленькой буквой с двумя индексами, первый (или верхний) из которых обозначает номер строки, а второй (или нижний) – номер столбца, в которых находится данный элемент.

Говорим, что матрица имеет размер mn, если в ней m строк и n столбцов. Матрица размера mn в общем виде выглядит так:

Например,

A= – (1.1)

это матрица, состоящая из 2 строк и 4 столбцов. Говорим, что она имеет размер 24. В ней a1;1=1, a2;1=2, а a1;2=6. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны между собой все элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица размера nn называется квадратной матрицей порядка n. Элементы квадратной матрицы, у которых номера строки и столбца совпадают, образуют главную диагональ. Если все элементы, стоящие вне диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы называется единичной и обозначается буквой E. Например, единичная матрица порядка 3 имеет вид

E=.

Обозначим

j; i =

Эта величина называется символом Кронекера. Можно сказать, что элементами единичной матрицы и являются числа j; i.

Если все элементы матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной). Например, следующая матрица является верхнетреугольной:

B=. (1.2)

Матрица, состоящая целиком из нулей называется нулевой и обозначается O.

Транспонированием матрицы A называется такая перестановка её элементов, при которой каждый элемент aj; i меняется местами с элементом ai; j. Матрицу, которая получается в результате транспонирования обозначаем A^T. Например, для матриц (1.1) и (1.2):

A^T=, B^T=.

Другими словами, при транспонировании матрицы меняются ролями строки и столбцы: элементы первой строки матрицы выписываются в первый столбец, элементы второй строки – во второй столбец, и т.д. Для квадратных матриц транспонирование представляет симметрию матрицы относительно главной диагонали. На примере матрицы (1.2) мы показываем, какие элементы меняются между собой местами:

.

Матрица, которая обладает свойством A=A^T, называется симметрической. Симметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Матрица, которая обладает свойством A=A^T, называется кососимметрической. Кососимметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Для диагональных элементов кососимметрической матрицы мы получаем равенство ai; i=ai; i; значит, обязательно все диагональные элементы равны нулю. Примеры симметрической и кососимметрической матриц:

, .

§2. Линейные операции над матрицами.

Складывать можно только матрицы одинакового размера. При этом складываются их элементы, стоящие на одинаковых местах. В результате сложения получается матрица такого же размера.

+ = .

Например,

A=, B=, A+B== .

При умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.

·= .

Например, для матрицы A из предыдущего примера

3·A=.

Матрицу –1·A обозначаем –A.

Свойства линейных операций над матрицами.

1. A+B=B+A;

2. (A+B)+C=A+(B+C);

3. A+O=A;

4. A+(–A)=O;

5. (A+B)=A+B;

6. (+)A=A+A;

7. ()A=(A);

8. 1·A=A.

Почему мы выделяем именно эти свойства, выяснится позже.

§3. Линейная зависимость строк и столбцов.

Строки и столбцы одной матрицы можно рассматривать сами по себе, как матрицы. Поэтому, что такое сумма двух строк (или столбцов) и произведение строки (столбца) на число уже определено. В дальнейшем мы будем говорить в этом параграфе про столбцы, но всё сказанное верно и для строк.

Определение. Пусть p₁, p₂,…, p_k – произвольные столбцы одинаковой высоты (не обязательно взятые из одной матрицы), а ₁, ₂,…, _k – некоторые числа. Выражение

₁ p₁+₂ p₂+…+_k p_k

называется линейной комбинацией столбцов p₁, p₂,…, p_k, а числа ₁, ₂,…, _k называются коэффициентами линейной комбинации. Эта комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю. Соответственно, если среди ₁, ₂,…, _k есть хотя бы одно ненулевое число, то линейная комбинация называется нетривиальной.

Определение. Столбцы p₁, p₂,…, p_k называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу:

₁p₁+₂p₂+…+_kp_k=0. (1.3)

Предположим, что столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы, т.е. выполнено равенство (4.3), где, например, ₁0. Тогда мы можем выразить

p₁= – p₂…– p_k,

т.е. столбец p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k. Обратно, пусть p₁ равен линейной комбинацией столбцов p₂,…, p_k:

p₁=₂p₂+…+_kp_k.

Тогда выполнено

1·p₁+₂p₂+…+_kp_k=0,

т.е. мы имеем нетривиальную (т.к. 10) линейную комбинацию столбцов p₁, p₂,…, p_k равную нулевому столбцу, а значит по определению эти столбцы линейно зависимы. Тем самым мы доказали следующее утверждение.

Предложение 1. Столбцы p₁, p₂,…, p_k линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них равен линейной комбинацией остальных столбцов.

Предложение 2. Если среди столбцов p₁, p₂,…, p_k есть хотя бы один нулевой столбец, то эти столбцы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть, например, p₁=0. Тогда выполнено

1·p₁+0·p₂+…+0·p_k=0.

Получилась нетривиальная (т.к. 10) линейная комбинация, равная нулевому столбцу.

§4. Определитель матрицы.

Понятие определитель (детерминант) вводится только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается detA или |A|. Если вместо круглых скобок вокруг матрицы мы поставим прямые палочки, то это тоже означает определитель матрицы. Определитель матрицы – это число, которое необходимо вычислить. Будем вводить понятие определитель по индукции. Определитель матрицы порядка 2 вычисляется по формуле:

= a1;1a2;2  a2;1a1;2 .

Схематично эту формулу можно запомнить так:

Предположим, что мы уже знаем, что такое определитель матрицы порядка n1, а A есть матрица порядка n. Вычеркнем из матрицы A i-ую строку и j-ый столбец. Получится матрица порядка n1. Её определитель обозначим Mj; i. Это число называется минором, дополнительным к элементу aj; i. Добавим к этому минору знак минус в том случае, когда i+j нечётно. Получившееся число называется алгебраическим дополнением к элементу aj; i; мы будем обозначать его M; ¯j; i. Можно записать, что