Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число , что cos  = . Векторы x и y называются коллинеарными, если  R такое, что y = x. Совокупность всех векторов коллинеарных x обозначаем Rx.

В силу А14 |x| – действительное число, и |x|=0  x=o. Мы знаем, что |cos |1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

1  |x·y||x|·|y|  (x·y)²|x|²·|y|² 

 (x·y)² (x·x)(y·y) (3.11)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда  R y  x , т.е. x + y  o. Тогда согласно А14  R

(x + y)·(x + y) > 0  ²(x·x) + 2(x·y) + y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной . Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)²<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y. Тогда  R такое, что y = x . Подставим это равенство в (3.11):

(x·x)² (x·x)(x·x)  ²(x·x)²²(x·x)².

Таким образом, имеет место (3.11) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (3.11) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y||x|+|y| (3.12)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (3.11) в виде (x·y)²|x|²|y|² получаем

|x+y|²=(x+y)·(x+y)= x²+2x·y +y² |x|²+2|x|²·|y|²+|y|²=(|x|+|y|)².

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (3.12) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (3.11), т.е. когда x||y.

Определение. Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0. Пишем xy.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если yEⁿ x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.

§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.

Определение. Система векторов {e₁, e₂,…, e_k}Eⁿ называется ортонормированной, если все векторы единичные и взаимно ортогональные, т.е.  i, j = 1…k выполнено e_i·e_j = _ij = (напомним, что _ij называется символом Кронекера).

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ke_k = o.

Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e₁:

(₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ke_k)·e₁ = o·e_i  ₁e₁·e₁ + ₂e₂·e₁ +…+ _ke_k·e₁ = 0

Отсюда

₁·1 + ₂·0 +…+ _k·0 = 0  ₁ = 0.

Аналогично, домножая на₂ получим ₂ = 0 и т.д. Итак, ₁= ₂ =…= _k = 0.

Теорема 3.1. В Eⁿ существует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов.

Доказательство. Докажем теорему для случая n=3. Выберем произвольный базис {a₁, a₂, a₃} в E³.

1 шаг. Пусть e₁=a₁/|a₁|. Тогда e₁ – единичный вектор.

2 шаг. Пусть b₂=a₂–e₁. Попробуем подобрать  так, чтобы b₂ получился ортогональным к e₁. Умножим последнее равенство скалярно на вектор e₁:

b₂·e₁=a₂·e₁–(e₁·e₁)  b₂·e₁=a₂·e₁–.

Значит, при =a₂·e₁ мы получим b₂·e₁=0. Теперь нормируем этот вектор: e₂=b₂/|b₂|. Получим, что e₂ – единичный вектор и e₁·e₂=0.

3 шаг. Пусть b₃=a₃–₁e₁–₂e₂. Попробуем подобрать ₁ и ₂ так, чтобы b₃ получился ортогональным к e₁ и e₂. Умножим последнее равенство скалярно на вектор e₁ и его же на вектор e₂:

b₃·e₁=a₃·e₁–₁(e₁·e₁)–₂(e₂·e₁)  b₃·e₁=a₃·e₁–₁.

b₃·e₂=a₃·e₂–₁(e₁·e₂)–₂(e₂·e₂)  b₃·e₁=a₃·e₁–₂.

Значит, при ₁=a₃·e₁, ₂=a₃·e₂ мы получим b₃·e₁=0 и b₃·e₂=0. Теперь нормируем этот вектор: e₃=b₃/|b₃|. Получим, что e₃ – единичный вектор и e₁·e₂=0, e₁·e₃=0.

Итак, мы получили ОНБ{e₁, e₂, e₃}.

Аналогичный процесс с большим числом шагов можно провести и для пространства произвольной размерности. Этот процесс называется процессом ортогонализации Грамма-Шмидта.

Пусть теперь в Eⁿ задан ОНБ B ={e₁, e₂,…, e_n}. Пусть x, yEⁿ – произвольные векторы. Пусть x(x¹, x²,… xⁿ)_B , y(y¹, y²,… yⁿ)_B . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xⁱe_i)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1y^je_j ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixⁱ y^j(e_i·e_j ) =\s\up1(\a\vs11( n;ixⁱ y^j_ij =\s\up1(\a\vs11( n;i =1 xⁱ yⁱ .

Итак,

x·y = x¹y¹+ x²y² +…+ xⁿyⁿ , (3.13)

т.е. в произвольном евклидовом пространстве формула для вычисления скалярного произведения векторов относительно ОНБ такая же, как и в обычном геометрическом пространстве относительно декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

|x|=. (3.14)

Примеры. 1. Пространство V³ с обычным скалярным произведением векторов: a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = ^|a;\s\up8(( ^|b;\s\up9(( cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) представляет собой евклидово пространство. Аксиомы А11– А14 в точности совпадают со свойствами этого произведения. Базис B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rⁿ для столбцов

X = , Y = .

определим

X·Y = x¹y¹+ x²y² +…+ xⁿyⁿ. (3.15)

Упражнение 1. Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11– А14.

Таким образом, Rⁿ со скалярным произведением (3.15) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

E₁ = , E₂ = , ... , E_n =

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Lⁿ векторное пространство Rⁿ может служить его моделью. Для этого надо в Lⁿ выбрать базис B и каждому вектору x(x¹, x²,… xⁿ)_B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве Eⁿ ОНБ B ={e₁, e₂,…, e_n} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:

x(x₁, x₂,… x_n)_B  X = , y(y₁, y₂,… y_n)_B  Y = .

Тогда x·y = x¹y¹+ x²y² +…+ xⁿyⁿ = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что Eⁿ изоморфно евклидову векторному пространству Rⁿ или, что евклидово векторное пространство Rⁿ является моделью пространства Eⁿ.