Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

Пусть теперь базис B ={f₁, f₂,…, f_n} в Eⁿ не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторов x(x₁, x₂,… x_n)_B, y(y₁, y₂,… y_n)_B?

Обозначим g_ij = f_i·f_j , и из этих чисел составим матрицу

 =.

Она называется матрицей Грама базиса B . Эта матрица, очевидно, является симметрической: g_ji = f_j·f_i= f_i·f_j = g_ij . Тогда

x·y = (\s\up1(\a\vs11( n;i =1xⁱe_i)·(\s\up1(\a\vs11( n;i =1y^je_j ) = \s\up1(\a\vs11( n;ixⁱy^j(e_i·e_j ) =\s\up1(\a\vs11( n;ig_ijxⁱy^j . (3.16)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (3.16) можно переписать в матричном виде:

x·y=X^ТY=  . (3.16)

Например в двумерном евклидовом пространстве эта формула выглядит так:

x·y == = g₁₁x¹y¹ + g₁₂(x¹y² + x²y¹) + g₂₂x²y².

Если базис ортонормированный, то g_ij = _ij и  = E (единичной матрице). Отметим ещё, что для любого базиса det>0.

Предположим теперь, что оба базиса B = {e₁, e₂, e₃} и B= {e₁, e₂, e₃} являются ортонормированными. Тогда должно выполняться

e₁² = (c₁¹)² + (c₁²)² + (c₁³)² = 1,

e₁·e₂ = c₁¹·c₂¹ + c₁²·c₂² + c₁³·c₃² = 0.

И аналогично, сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы C равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца матрицы C на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Напомним, что матрица, обладающая такими свойствами, является ортогональной, т.е. для неё выполнено C·C^T= E. Мы доказали теорему.

Теорема 3.2. Переход от одного ОНБ к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы.

§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.

Определение. Пусть L – векторное пространство. Подмножество LL называется векторным подпространством в L, если оно само по себе является векторным пространством.

Для того, чтобы убедиться, что подмножество LL является векторным подпространством достаточно проверить лишь замкнутость L относительно линейных операций:

1. x, yL  x+yL;

2. xL, R  xL.

АксиомыА1–А8 будут выполняться автоматически потому, что они выполняются в L.

Примеры. 1. Все векторы, параллельные плоскости Oxy образуют подпространство V² в V³ (напомним, что V³ состоит из всех векторов геометрического пространства).

2. Напомним, что пространство P₂ состоит из всех многочленов степени не превосходящей 2: P₂= {a_o+ a₁t + a₂t²| a_o, a₁, a₂R}. Тогда P₁= ={a_o+ a₁t| a_o, a₁R} является подпространством в P₂.

3. Все функции вида a_o+ a₁sint+a₂cos t образуют подпространство T в пространстве С^o(R) функций, непрерывных на всей числовой прямой.

Определение. Пусть {x₁, x₂,…, x_n} – некоторая система векторов в векторном пространстве L. Рассмотрим совокупность всех векторов, которые являются линейными комбинациями векторов x₁, x₂,…, x_n:

{₁x₁+₂x₂+…+_nx_n| ₁, ₂,…, _nR}

Это множество называется линейной оболочкой системы векторов {x₁, x₂,…, x_n} и обозначается x₁, x₂,…, x_n или spann{x₁, x₂,…, x_n}.

Примеры. 1. V²=i, j. Но также V²=i+j, ij или V²=i, j, i+j, i2j.

2. P₁= 1, t. Но также P₁= 1, t, 2+t.

3. T=1, sint, cos t.

Предложение. Размерность линейной оболочки системы векторов не превосходит числа этих векторов (без доказательства).

Определение. Пусть Eⁿ – евклидово пространство, xEⁿ – произвольный ненулевой вектор. Ортогональным дополнением к вектору x называется совокупность всех векторов, ортогональных к x:

x^={yEⁿ| x·y=0}.

Определение. Пусть E^k – подпространство в Eⁿ. Говорим, что вектор xEⁿ ортогонален E^k (пишем xE^k), если он ортогонален каждому вектору из E^k. Ортогональным дополнением к E^k называется совокупность всех векторов, ортогональных E^k:

(E^k)^={yEⁿ| x·y=0 xE^k}.

Предложение. (E^k)^ является векторным подпространством в Eⁿ размерности nk. В частности, x^ является векторным подпространством в Eⁿ размерности n1.

Доказательство. Докажем только второе утверждение. Пусть y,zx^, R. Тогда

x·(y+z)=x·y+x·z=0+0=0, x·(y)=(x·y)+x·z=·0=0.

Значит, y+zx^ и yx^. Это означает, что x^ является векторным подпространством в Eⁿ. Выберем теперь ОНБ {e₁, e₂,…, e_n} так, чтобы e₁||x (e₁=x/|x|). Тогда {e₂,…, e_n}x^.

Пусть y=y¹e₁+y²e₂+…+yⁿe_n – произвольный вектор из x^. Тогда e₁·y=(x/|x|)·y=0. С другой стороны,

e₁·y=e₁·(y¹e₁+y²e₂+…+yⁿe_n)=y¹(e₁·e₁)+y²(e₁·e₂)+…+yⁿ(e₁·e_n)=y¹.

Таким образомy=y²e₂+…+yⁿe_n. Мы показали, что любой вектор yx^ является линейной комбинацией векторов {e₂,…, e_n}. Значит, dim x^=n1.

Определение. Пусть L и L – два подпространства векторного пространства L. Говорим, что L раскладывается в прямую сумму L и L, если любой вектор xL можно представить единственным образом в виде суммы x=u+v, где uL, vL.

Единственность разложения x=u+v, uL, vL равносильна тому, что пересечение LL состоит только из нулевого вектора (без доказательства).

Теорема3.3. Любое евклидово пространство можно представить в виде прямой суммы любого подпространства и его ортогонального дополнения: Eⁿ=E^k(E^k)^ (без доказательства).

Примеры. 1. Пусть V² состоит из всех векторов, параллельных плоскости Oxy. Тогда (V²)^ состоит из всех векторов коллинеарных оси Oz, и любой вектор xV³ можно единственным образом представить в виде суммы x=u+v, где uV², v(V²)^. Значит, V³=V²(V²)^.

2. Пусть в R³ введено скалярное произведение, как в примере 2 параграфа 5. Пусть подпространство R² состоит из столбцов вида . Тогда (R²)^ состоит из столбцов вида . Произвольный столбец XR³ можно единственным образом представить в виде суммы:

= + .

Значит, R³=R²(R²)^.