Файл: ALGYeBRA_I_GYeOMYeTRIYa.doc

Определение. Пусть A:Lⁿ^–^Lⁿ и B:Lⁿ^–^Lⁿ– два линейных оператора, действующие в одном и том же векторном пространстве. Оператор C:Lⁿ^–^Lⁿ, который действует по правилу: Cx=Ax+Bx называется суммой операторов A и B. Мы пишем C=A+B.

Произведением оператора A на число  называется оператор A, который действует по правилу (A)x=(Ax). Оператор 1A обозначаем A.

Композицией операторов A и B называется оператор F, который действует по правилу: Fx=B(Ax). Пишем F=BA.

Проверьте самостоятельно, что операторы A+B, A и BA тоже являются линейными.

Предложение 4. Пусть в пространстве Lⁿ выбран базис и пусть A, B – матрицы операторов A и B в данном базисе. Тогда оператор A+B имеет матрицу A+B, оператор A имеет матрицу A, а оператор BA имеет матрицу BA. Таким образом, действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами.

Доказательство. Пусть C=A+B и пусть xLⁿ – произвольный вектор. Пусть y₁=Ax, y₂=Bx, y₃=Cx, а X, Y₁, Y₂, Y₃ – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса и C – матрица оператора C. Тогда

Y₁=AX, Y₂=BX, Y₃=CX.

Согласно определению, y₃=Cx=Ax+Bx=y₁+y₂, а значит, и для их координатных столбцов выполнено Y₃=Y₁+Y₂ 

CX=AX+BX=(A+B)X.

для любого столбца X. Это и означает, что C=A+B.

Утверждение про матрицу оператора A докажите самостоятельно.

Пусть теперь y=Ax, z=By, а X, Y, Z – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса. Тогда

Y=AX, Z=BY  Z=B(AX)=(BA)X.

Сдругой стороны,z=(BA)x=Cx  Z=CX. Итак, для любого столбца X выполнено CX=(BA)X  C=BA.

Замечание. При доказательстве мы использовали утверждение: если для любого столбца X выполнено AX=BX, то A=B. Мы его докажем на практических занятиях.

Свойства операций над линейными операторами.

1. A+B =B+A; 5. (A+B)=A+B;

2. (A+B)+C =A+(B+C); 6. (+)A=A+A;

3. A+O =A; 7. ()A=(A);

4. A+(A)=O; 8. 1·A=A.

Эти свойства в точности совпадают с аксиомами векторного пространства. Таким образом, множество всех линейных операторов, действующих из Lⁿ в Lⁿ образует векторное пространство.

§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ выбраны два базиса: B={e₁,e₂,…, e_n}, B={e₁,e₂,…, e_n} и пусть C – матрица перехода.. Пусть A и A  матрицы оператора A:Lⁿ^–^Lⁿ в первом и втором базисах. Нам нужно найти связь между этими матрицами.

Пусть xLⁿ  произвольный вектор, X и X – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Пусть y=Ax, Y и Y – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Действие оператора относительно первого базисов задаётся формулами

Y=AX, Y=AX. (5.4)

Мы знаем, как преобразуются координаты векторов при замене базиса:

Y=CY, X=CX.

Подставляем эти равенства в первое из равенств (5.4):

CY=A(CX)  Y=(C^¹AC)X.

Сравниваем это равенство со вторым из равенств (5.4). Мы видим, что

A=C^¹AC (5.5)

Это и есть закон преобразования матрицы линейного оператора, при переходе к новому базису.

§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение. Пусть Lⁿ – векторное пространство, а A:Lⁿ^–^Lⁿ – линейный оператор, действующий в нём. Подпространство L^kLⁿ называется инвариантным относительно действия оператора A, если для каждого xL^k его образ Ax тоже принадлежит L^k. Это можно записать так: AL^kL^k.

Определение. Число  называется собственным числом или собственным значением оператора A:Lⁿ^–^Lⁿ, если существует ненулевой вектор x, такой что

Ax=x. (5.6)

Вэтом случае x называется собственным вектором оператора A, соответствующим числу .

Примеры. 1. Пусть l – некоторая прямая в пространстве, H_представляет собой поворот вокруг прямой l на угол . Тогда совокупность всех векторов, перпендикулярных к l представляет собой инвариантное подпространство в V³. Совокупность всех векторов коллинеарных l представляет тоже представляет собой инвариантное подпространство.

Более того, все эти векторы при повороте переходят в себя: H_y;\s\up8((=y;\s\up8((. Значит, все эти векторы являются собственными для оператора H_и соответствующее собственное значение равно 1.

2. Пусть C^(R) – пространство, состоящее из всех бесконечно дифференцируемых на R функций. Совокупность всех функций вида a_o+a₁sint+a₂cost, a_o,a₁,a₂R представляет собой трёхмерное векторное подпространство в C^(R). Данное подпространство инвариантно относительно оператора дифференцирования. Функции e^at являются собственными векторами для оператора дифференцирования и соответствующее собственное значение равно a. Действительно, D(e^at)=ae^at.

Пусть в пространстве Lⁿ выбран базис и A – матрица оператора A:Lⁿ^–^Lⁿ. Как найти собственные векторы и собственные числа оператора? Пусть X – координатный столбец искомого собственного вектора x. Тогда должно выполняться

AX=X. (5.6)

Пусть E – единичная матрица порядка n. Тогда (5.6) равносильно

AX=EX  AXEX=0 

 (AE)X=0. (5.7)

В развёрнутом виде представляет собой однородную СЛУ с матрицей AE относительно неизвестных координат вектора x:

(5.7)

Согласно теореме 2 главы 4 эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

det(AE)=0. (5.8)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для матрицы A. В развёрнутом виде оно выглядит так:

=0 (5.8)

Если раскрыть определитель, мы получим многочлен степени n относительно переменной , который называется характеристическим многочленом для матрицы A. Согласно следствию из основной теоремы алгебры комплексных чисел, уравнение (5.6) имеет в точности n комплексных решений, среди которых могут быть равные, и могут быть действительные. Если нас интересуют только действительные собственные векторы, то для нахождения их мы используем только действительные собственные числа. Любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень. Поэтому любой линейный оператор, который действует в пространстве нечётной размерности, имеет хотя бы один собственный вектор.

Упражнение. Убедитесь самостоятельно, что после раскрытия определителя, уравнение (5.6) для матрицы порядка 2 примет вид:

²(trA)+detA=0,

где trA=a1;1+a2;2 – след матрицы A (сумма её диагональных элементов). Для матрицы порядка 3:

³+(trA)²+I₂(A)+detA=0,

где

I₂(A)= ++ –

сумма диагональных миноров второго порядка в матрице A.

Предложение 5. Все собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению линейного оператора A:Lⁿ^–^Lⁿ, вместе с нулевым вектором образуют векторное подпространство в Lⁿ. В частности, если вектор x собственный, то x при 0 – тоже собственный и соответствует тому же собственному значению.

Доказательство. Пусть Ax=x, Ay=y. Тогда

A(x+y)=Ax+Ay=x+y=(x+y),

A(x)=Ax=(x)= (x),

Таким образом, векторы x+y и x тоже являются собственными для оператора A и соответствуют тому же собственному значению . Именно это и надо было доказать.

Можно рассудить иначе. Координаты векторовx и y удовлетворяют одной и той же системе линейных однородных уравнений. А мы уже доказали, что все решения такой системы образуют векторное пространство.

Предложение 6. Если собственные векторы x₁,x₂,…, x_kсоответствуют попарно различным собственным значениям ₁,₂,…, _k, то эти векторы линейно независимы.

Доказательство. Индукцией по числу k (количеству векторов).

Пусть k=2. Пусть x₁,x₂ линейно зависимы. Тогда x₂=x₁ и согласно предложению 5 они должны соответствовать одному и тому же собственному значению. Противоречие. Значит, наше предположение, что x₁,x₂ линейно зависимы, неверно.

Пусть теперь нам известно, что теорема справедлива для k1 векторов. Пусть векторы x₁,x₂,…, x_kудовлетворяют условиям теоремы. Предположим, что существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору:

₁x₁+₂x₂+…+_kx_k=o;¯. (_*)

Нам нужно доказать, что она тривиальная. Это и будет по определению означать, что векторы x₁,x₂,…, x_k линейно независимы. Применим к обеим частям равенства оператор A:

A(₁x₁+₂x₂+…+_kx_k)=Ao;¯  ₁₁x₁+₂₂x₂+…+_k_kx_k=o;¯ (_**)