Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

9.4. Оценка точности результатов моделирования

Оценка точности результатов моделирования связана с построе­нием доверительных интервалов для выходных переменных (откликов) модели. Количество реализаций (прогонов модели) и время прогона для каждой реализации модели определяют точность результатов. Если мо-1ель детерминированная, то для получения точных результатов моде­лирования достаточно одного прогона. В общем случае данные одного прогона модели представляют единичную выборку или временной ряд. Временной ряд - это конечная реализация случайного процесса, т.е. в результате каждого прогона модели образуются временные ряды для каждого значения отклика модели исследуемых стохастических процессов. Для стохастических моделей рассматривают два режима рабо­ты: переходный и стационарный. Стационарный режим определяется стационарным процессом на выходе модели.

Если модель работает в переходном режиме, то необходимое количество прогонов модели можно рассчитать по тем же формулам, что и для метода статистических испытаний. Количество прогонов модели определяется в соответствии с формулами (3.23) и (3.26). Не­обходимую точность ε можно задать равной ± 5% от среднего значе­ния величины, для которой строится доверительный интервал при α = 0,95. Если модель реализована на языке GPSS, то необходимо после последнего прогона выполнить процедуру ANOVA.

Если число прогонов небольшое (менее тридцати), то при по­строении доверительного интервала используют распределение Стьюдента (t-распределение). При большем числе прогонов можно использовать функцию нормального распределения.

Если критерием оценки является стоимостная характеристика (доход, прибыль, затраты и т. п.), которая определяется для стацио­нарного режима работы модели, то длина прогона может быть опре­делена по результатам наблюдения за изменением величины, равной отношению оцениваемого показателя за весь период моделирования к продолжительности моделирования (например, затраты за единицу времени). Для этого в окне PLOT строят график изменения этой ве­личины. Длина прогона должна соответствовать стационарному ре­жиму функционирования модели (рис. 9.2). Статистические данные переходного периода работы модели не должны учитываться. Для этого используют команду RESET (см. параграф 4.27).

Стационарность процесса с выхода модели можно также про­верить, наблюдая за его автоковариационной функцией. Если она 11 мест тенденцию к затуханию, то это свидетельствует в большинстве случаев о том, что в первом приближении процесс стационарный. Поскольку автоковариационная функция случайного процесса неиз­вестна, то ее можно только оценить. Учитывая то, что полученные из имитационной модели временные ряды достаточно длинные, оцени­вают автоковариационную функцию cov_h по формуле [12]

где N - количество точек во временном ряду; h - сдвиг по ряду; X_i -(-значение измеряемой переменной (i-я точка).

Особое значение при имитационном моделировании имеют ста­ционарные эргодические процессы, свойства которых могут быть оценены по результатам одного временного ряда.

Последовательность выборочных средних значений {X_N}. N = 1,2,...∞ будет эргодической если дисперсия величины X_N стремится к нулю при неограниченном увеличении s:

Таким образом, выборочное среднее асимптотически стремится к математическому ожиданию, если дисперсия выборочного среднего стремится к нулю. В этом случае установившийся стационарный ре­жим работы модели не будет зависеть от начальных условий модели­рования.

Чтобы проверить на практике, является процесс эргодическим или нет, необходимо резко изменить начальные условия моделирова­ния. Если модель сначала запускалась при условиях, что очереди были пустые, а устройства свободные, то второй прогон модели следует провести при наличии транзактов в очередях и устройствах. Если на выходе модели будут получены близкие результаты, то это обычно свидетельствует об эргодичности процесса.

В системе GPSS изменять условие моделирования можно, задав несколько блоков GENERATE и TRANSFER:

GENERATE „,N

TRANSFER ,LABEL

Здесь метка LABEL указывает на вход устройства, а N - на ко­личество транзактов, которые посылаются в это устройство. Таким образом, в начальный момент в модели будут находиться уже N тран­зактов.

Для стационарных режимов работы системы, модель которой регенерирует (повторяется в вероятностном смысле), используют ме­тод построения доверительных интервалов [15]. Пример 9.1 построе­ния доверительного интервала для регенерирующих процессов при­веден для СМО с одним устройством обслуживания в программе Re­generative method.

В языке GPSS статистика о работе модели собирается автомати­чески или по желанию пользователя и выводится в файл результатов. Однако при этом не гарантируется надежность полученных оценок. Этим вопросом должен заниматься сам пользователь.

Для имитационных стохастических моделей, которые работают в переходном режиме, необходимо выполнить несколько прогонов модели, каждый из которых должен отличаться своей последователь­ностью псевдослучайных чисел. Для этого используется последова­тельность команд, аналогичная такой:

Команда RMULT разрешает устанавливать начальные значения множителей для генераторов случайных чисел. Команда CLEAR осуществляет сброс собранной статистики в предыдущем прогоне-модели и удаляет транзакты из модели, но не устанавливает множи­тели генераторов случайных чисел в начальные значения.

При моделировании стохастических систем, работающих в ста­ционарном режиме, может быть использован регенерирующий ана­лиз, если эти системы регенерируют. Для СМО моменты регенерации определяются номерами тех требований, которые будут, например, заставать устройство обслуживания свободным. Класс регенерирую­щих систем довольно большой. К нему относятся стохастические се­ти СМО, система управления запасами и прочие системы. Поэтому приведем алгоритм построения 100(1-δ)% доверительного интервала с использованием этого метода [15].

1. Провести п циклов регенерации.

2. Вычислить Y_i и α_i, для любого j-го цикла, где Y_i - сумма ис­ходных значений переменной, полученной от имитационной модели на j-ом цикле регенерации, и α_j, - длина j-го цикла (количество транзактов, которые попали в j-й цикл).

3. Вычислить выборочные статистики

где ř - среднее значение переменной, которая оценивается в имита­ционной модели; S₁₁, S₂₂, S₁₂ - соответственно выборочные дисперсии значений Y_j, и α_j, и выборочный второй смешанный момент значений (Y_j , α_j).

4. Сформировать доверительный интервал

где Ф - функция стандартизированного нормального распределения.

Если начало первого цикла не совпадает с началом моделиро­вания, то данные, предшествующие первому циклу, необходимо от­бросить.

Пример 9.1 [18]

Покажем, как можно использовать данный алгоритм в GPSS-программе. Ниже приводится GPSS-программа для моделирования СМО вида М/М/1, для которой оценивается значение времени пре­бывания требования в системе и строится доверительный интервал с 90-процентным уровнем доверия.

Так как моделируется СМО вида М/М/1, то согласно формуле (1.7) при С=1 теоретическое среднее время пребывания в СМО Т= 1800, а результаты моделирования дают Т = 1833,053 ±440,258 для 90% доверительной вероятности (MEIN ± DELTA). Теоретиче­ский коэффициент загрузки равен 0,9, а по результатам моделирова­ния 0,901. Как видно, полученные результаты близкие к теоретиче­ским.

Приведенная программа может быть использована для любой регенерирующей модели. Для этого между метками INP и OUT нуж­но вставить программу регенерирующей модели. Проверка циклов регенерации осуществляется по количеству транзактов, которые на­ходятся между этими метками. Цикл регенерации начинается, если в модели между указанными метками нет ни одного транзакта.

При моделировании систем управления запасами цикл начинается, когда достигается минимальная величина запаса, поэтому для таких моделей необходимо изменить условие проверки начала цикла регенерации.

9.5. Факторный план

При экспериментировании с моделью различают входные и вы­ходные переменные. Входные переменные называются факторами. Выходные переменные называются откликами. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно или несколько значений, назы­ваемыми уровнями фактора. Множество уровней факторов опреде­ляет одно из возможных состояний моделируемой системы и пред­ставляет условия проведения одного из возможных экспериментов. Существует определенная связь между уровнями факторов и откли­ками системы, которая обычно заранее неизвестны. Эту связь можно определить следующим образом:

где у_l, - l-й отклик, п - число анализируемых откликов, x_i - i-й фактор, т - число факторов.

Функция ψ в правой части называется функцией отклика или реакции. Ее геометрический образ - поверхность отклика. Так как функция ψ заранее не известна, то используют другую приближен­ную функцию:

Эти функции φ_l находят по данным эксперимента и представ­ляют в виде степенного полинома первого, второго и, реже, третьего порядка. После проведения экспериментов аппроксимирующие по­линомы заменяют уравнениями регрессии и методом наименьших квадратов находят статистические оценки их неизвестных коэффици­ентов.

Факторный эксперимент может быть отсеивающий, когда из всего множества факторов определяются те факторы, которые суще­ственно влияют на отклики модели. Второй вид факторного экспери­мента используется для определения экстремальных значений на по­верхности отклика. В этом случае серия факторных экспериментов планируется так, чтобы достичь экстремума на поверхности отклика.

Факторный эксперимент представляет собой план, в котором все уровни каждого фактора встречаются в сочетании со всеми уровнями всех других факторов. Различные уровни некоторого фактора могут соответствовать качественным значениям (например, разные дисциплины обслуживания в устройстве) или количественным значе­ниям (например, число устройств обслуживания). Если фактор f (f= 1,...,k) имеет L_f уровней, то общее число комбинаций уровней оп­ределяется произведением: