Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

Моделирование события. Пусть необходимо смоделировать появление некоторого события А, вероятность наступления которого равняется Р(А)= Р. Обозначим обращения к генератору, который разыгрывает псевдослучайные, равномерно распределенные на интервале (О, 1) числа r_i через R. Событие а при розыгрыше будет наступать тогда, когда r ≤ Р (рис. 3.3), в противном случае происходит событие А с вероятностью r > Р.

Данный метод используется в языке GPSS для блока TRANSFER в статистическом режиме работы, когда транзакты следуют по двум разным направлениям в зависимости от вероятности (см. параграф 4.9).

Моделирование группы несовместных событий. Пусть есть группа несовместимых событий A₁,A₂,---,A_k. Известны вероятности наступления событий Р(А₁) Р(А₂),..., P(A_k). Тогда из-за несовместности событий Пусть p_i =P(A_i), p₀=0. На отрезке (0, l) отложим эти вероятности (рис. 3.4).

произошло событие Д. Такую процедуру называют определением результата испытание по жребию, и она основывается на формуле

Моделирование случайной дискретной величины. Моделирование случайной дискретной величины выполняется аналогично моделированию группы несовместимых событий. Дискретная случайная величина X задается в соответствии с табл. 3.1.

Случайную величину X можно представить как полную группу событий:

Данный метод используется в языке GPSS для моделирования дискретных случайных функций распределения (см. параграф 4.13).

Моделирование условного события. Моделирование условного события А, которое происходит при условии, что наступило событие В с вероятностью Р(А/В), показано на рис. 3.2.3. Сначала моделируем событие В. Если событие В происходит, то моделируем наступление события А, если имеем В, то не моделируем наступление события А.

3.3. Моделирование непрерывных случайных величин

В данном случае используется метод обратной функции. Пусть есть некоторая функция распределения случайной величины (рис. 3.6). Разыграем на оси ординат точку r, используя функцию F(x). Тогда можем получить значение величины x такое, что F(x)=r.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X. По определению она равна вероятности Р(Х<х). Из рис. 3.7 очевидно, что

Таким образом, последовательность r_1, r₂, r₃,..., принадлежащая R(0, 1), преобразуется в последовательность х₁, x₂, х₃,..., которая имеет заданную функцию плотности распределения f(x).

Моделирование равномерного распределения в интервале (а, b) случайной величины. Для моделирования воспользуемся методом обратной функции. На рис. 3.8 показана функция плотности равномерного распределения.

Находим функцию распределения и приравниваем ее к случайному числу

Моделирование экспоненциального распределения случайной величины. Функция плотности экспоненциального распределения случайной величины f(x) =λе^-λ^x и функция распределения показаны на рис. 1.1.

Воспользуемся методом обратной функции:

Можно показать, что случайная величина (1-R) распределена так же, как и величина R. Тогда, сделав замену (1-R) на R, получаем

Покажем, как, используя метод обратной функции, можно моделировать случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону. Подобный подход принят в языке GPSS [10].

Пусть λ = 1. Выполним аппроксимацию функции экспоненциального распределения линейными участками, чтобы можно было использовать ее для моделирования методом обратной функции. Для аппроксимации достаточно 24 точек. В табл. 3.2 занесены соответствующие значения аргумента х и функции F(x), значения которой генерируют с помощью генератора случайных чисел.

На рис. 3.9 и 3.10 показаны графики двух функций. На рис. 3.9 изображена аппроксимация экспоненциальной функции с параметром λ, = 1, а на рис. 3.10 - функция, обратная к аппроксимированной. Первая функция воспроизводит заданные в табл. 3.2 значения. Вторая функция используется для розыгрыша экспоненциального распределения, поскольку удобнее задавать значение x, а получать значение функции.

Если необходимо моделировать случайные величины X, распределенные по экспоненциальному закону с параметром ё_х ≠1, которые используется как задержка во времени с параметром T = 1/ ё_х, например, для моделирования пуассоновского потока поступления требований, то поступают таким образом:

- генерируют значения случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону с λ = 1 (рис. 3.10);

- находят произведение полученного значения и математического ожидания случайной величины Т =1/λ_x. Рис3.10

В результате получают искомую последовательность значений реализации случайной величины X.

Моделирование нормального закона распределения случайной величины. Для моделирования нормального закона распределения случайной величины нельзя непосредственно воспользоваться методом обратной функции, поэтому используем центральную предельную теорему. Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание т_х и среднеквадратичное отклонение σ_х, а случайная величина Z имеет математическое ожидание m_z = 0 и среднеквадратичное отклонение σ_z = 1. Легко показать, что

Сформулируем центральную предельную теорему.

Если Х₁,...,Х_п - независимые случайные величины со средним значением E[X_i]=a, i=1,n и дисперсией D[X_i]=σ², i=1,n, то при неограниченном увеличении п функция распределения случайной функции распределения стандартного нормального закона Ф(z) при всех значениях аргумента, то есть

Для получения нормального закона распределения случайной величины достаточно суммировать шесть случайных величин, полученных с помощью генератора случайных чисел R, и, пронормировав полученные значения так, чтобы определить Z, по формуле (3.8) найти значение X.

Обычно суммируют 12 случайных величин , тогда дисперсия D(Z) будет равняться единице.

Рассмотрим, как моделируются нормально распределенные случайные величины в системе моделирования GPSS.

Выполним аппроксимацию функции нормального распределения случайной величины Z c параметрами m_z=0 и σ_z=l. Для этого достаточно 25 точек. В табл. 3.3 занесенные соответствующие значения аргумента х и функции F (х).

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения с математическим ожиданием т_х ≠0 и среднеквадратичным отклонением σ_z≠1, необходимо сделать вычисления по формуле (3.8).

На рис. 3.11 изображен график функции, полученной в результате аппроксимации функции нормального распределения Ф(z), а на рис. 3.12 - более удобный для моделирования график функции (как аргумент используют генератор случайных чисел и получают значение функции).

Таблица 3.3

Если необходимо обеспечить положительные разыгрываемые значения, то нужно выполнить условие т_х > 5σ_х.

В рассмотренных приближенных методах «хвосты» нормального распределения оказываются неточными. Существуют и более точные методы моделирования нормального распределения случайной величины [11].

Смотрите также файлы

Методические указания по выполнению курсовой работы Проектир.doc

Методичка-ЛАБЫ по Поектированию ИС.doc

Вопрос 42.doc

Вопрос 38 39 40.doc

Вопрос 25.doc

Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

3.2. Моделирование дискретных случайных величин

3.3. Моделирование непрерывных случайных величин

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно