Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

9.9. Особенности планирования экспериментов

Опишем последовательность действий, выполняемых при про­ведении экспериментов.

1. Определение откликов (выходных переменных) системы.

2. Определение факторов, которые предположительно влияют на отклик системы.

Большинство систем работает по принципу Парето. Этот прин­цип гласит, что с точки зрения характеристик системы существенны­ми являются лишь некоторые из множества факторов. В большинстве систем 20% факторов определяют 80% свойств системы.

3. Определение уровней факторов. Минимальное количество уровней два - нижняя и верхняя границы значений факторов. При ис­пользовании этого числа уровней можно определить только линей­ные эффекты. Для учета квадратичных эффектов необходимо исполь­зовать три уровня, для кубических эффектов - четыре и т.д. Анализ значительно упрощается, если брать только равноотстоящие друг от друга значения уровней. В этом случае имеем так называемое орто­гональное разбиение уровней.

Для множественных экспериментов с числом факторов больше одного дисперсионный анализ требует, чтобы для заключительного анализа использовался ортогональный эксперимент. Это означает, что оценки в пределах анализа должны быть некоррелированные. На практике использование одних и тех же чисел при выполнении экс­периментов, в пределах каждой комбинации уровней обработки га­рантирует ортогональность.

Планирование эксперимента обычно применяется для определе­ния важных - существенно влияющих на отклик - факторов (отсеи­вающий эксперимент). Так как с ростом числа факторов число ком­бинаций быстро растет, то необходимо выделить наиболее важные факторы, т.е. провести предварительное отсеивание. Для этого ис­пользуются планы 2^k-p, считая взаимодействия более высокого поряд­ка равными нулю.

При использовании планирования экспериментов для поиска экс­тремальных значений отклика применяются планы типа 2^k-p и допол­нительные комбинации, позволяющие оценить отклик как функцию (полином первого или второго порядка) от независимых переменных. В этом случае все k факторов должны быть количественными.

Планы можно применять последовательно, т.е. сначала получить наблюдения для одних комбинаций уровней факторов, затем для дру­гих и после анализа этих наблюдений решить, для какой комбинации (старой или новой) провести дополнительные наблюдения. Эти новые наблюдения опять анализируются (обычно вместе с предыдущими) для принятия решения о дальнейших наблюдениях и так далее. В планах типа 2^k'^p можно сначала выполнить малую часть эксперимен­та, проанализировать наблюдения, а затем, если этот анализ показы­вает, что данная часть эксперимента слишком мала для оценки всех возможных эффектов, расширить эксперимент таким образом, чтобы он позволил оценить все эти эффекты.

Если целью анализа поверхности отклика является поиск опти­мальной комбинации уровней k количественных факторов, то в этом случае выполняют следующие этапы:

1. Планирование эксперимента, т.е. выбор комбинации уровней факторов. В этом случае используются полные типа 2^k, дробные типа 2^k-p планы экспериментов и некоторые специальные планы.

2. Проведение экспериментов и построение по их результатам уравнения регрессии поверхности отклика.

3. Подъем по поверхности отклика к вершине. Для нахождения направления увеличения отклика обычно используется метод ско­рейшего подъема (крутого восхождения). В направлении, в котором ожидается увеличение отклика, этапы 1,2 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута область максимума.

4. Проведение канонического анализа в области максимума функции поверхности отклика. При этом определяется: имеется ли один максимум, несколько максимумов, седловая точка или гребень.

9.10. Нахождение экстремальных значений на поверхности отклика

Запишем уравнение поверхности отклика в следующем виде

где x_l,...,x_k - независимые переменные, k - число факторов. Во мно­гих случаях цель имитационного моделирования заключается в поис­ке таких величин или уровней независимых переменных, при кото­рых отклик достигает экстремального значения. Для определения на­правления движения к экстремальной точке в случае использования количественных, непрерывных и измеряемых величин применяют ряд небольших, полных и неполных факторных экспериментов. Так как поверхность отклика неизвестна, то ее аппроксимируют какой-то гладкой функцией, в качестве которой обычно используют полином первого порядка

Параметры a₀,a_l,...,a_k,... оценивают по результатам факторного эксперимента.

Для поиска экстремума наиболее часто используют метод ско­рейшего подъема. Он основан на линейной аппроксимации поверхно­сти отклика в окрестности рассматриваемой точки Р с помощью фак­торного эксперимента.

По построенной линейной функции определяется направление скорейшего подъема Q к точке оптимума (рис. 9.8). В направлении Q делается небольшой шаг, после чего описанная процедура повторяет­ся снова. Метод не позволяет определить длину шага, однако, указы­вает направление движения.

Предположим, что исследователь провел в точке Р эксперимент с 2^k комбинациями плюс два наблюдения в центре. Эксперимент по­зволяет определить коэффициенты а₀, а₁, а₂ (для случая k = 2), кото­рые определяют наклон плоскости аппроксимации. Направление ско­рейшего подъема показывает относительные величины изменения факторов, обеспечивающих максимальное увеличение отклика. Под­нявшись по этому направлению до некоторой точки Р₁, необходимо повторить всю процедуру. Такой итерационный процесс позволяет достигать все лучших и лучших значений отклика. Однако вблизи точки экстремума эта процедура неэффективна, так как коэффициен­ты а₁, и a₂, определяющие наклон аппроксимирующей плоскости, становятся небольшими и точность их оценивания низка. Это означа­ет, что вблизи экстремальной точки линейная аппроксимация по­верхности отклика является недостаточной и надо переходить к ап­проксимации полиномом более высокой степени.

Для рассматриваемого примера эксперимент с 2^k комбинациями достаточен для оценивания коэффициентов а₀,a₁,a₂. Однако два до­бавочных наблюдения в геометрическом центре Р позволяют не только уточнить уравнение регрессии, но и получить несколько до­полнительных степеней свободы для проверки статистической зна­чимости оценок параметров регрессии. То же самое можно сделать с помощью повторного эксперимента. Вблизи экстремума поверхности желательно аппроксимировать поверхности отклика, по меньшей ме­ре, полиномом второго порядка. Для этого используют приближение:

Для оценки коэффициентов регрессии этой модели необходимо измерить каждый фактор, по крайней мере, на трех уровнях, то есть использовать 3^k-факторный эксперимент. Однако этот эксперимент дает довольно низкую точность оценок коэффициентов регрессии. Поэтому специально для квадратичных полиномов используют дру­гие способы построения эксперимента. Из них наиболее полезными являются центральный композиционный или рототабельный пла­ны. Они получаются путем добавления дополнительных точек к дан­ным, полученным из 2^k факторных экспериментов. Для рототабельного построения стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. Такие построения разработаны для любого числа факторов и представляют собой правильные геометрические фигуры с центральными точками.

9.11. Организация экспериментов вGpssWorld

Система GPSS World обеспечивает два вида автоматически про­водимых экспериментов: разработанные для пользователя и разрабо­танные пользователем. Разработанные для пользователя и встроен­ные в GPSS World автоматические генераторы отсеивающих и опти­мизирующих экспериментов не предполагают повторных прогонов, т.е. эти эксперименты проводятся с моделями, работающими в ста­ционарном режиме. Для таких моделей оценки точности результатов моделирования могут быть получены за один достаточно длительный прогон модели (см. параграф 9.4). Данные переходного периода в этих экспериментах могут не учитываться. Эти модели не предусмат­ривают повторений экспериментов для каждого уровня сочетания факторов.

Отсеивающие и оптимизирующие эксперименты также не могут быть использованы в тех случаях, когда в процессе экспериментиро­вания необходимо изменять количество устройств в МКУ, которое задается оператором STORAGE.

Пользовательские эксперименты могут проводиться с моделями, работающими в переходном режиме, и позволяют организовать по­вторение экспериментов. В этом случае необходимо заранее до пла­нирования экспериментов для каждого сочетания уровней факторов определить количество повторений экспериментов (см. параграф 9.4). Наличие встроенного языка программирования PLUS позволяет раз­рабатывать пользовательские эксперименты любой сложности, вклю­чая и переопределение емкости МКУ.

Отсеивающий эксперимент в GPSS World. Этот эксперимент используется для определения факторов, существенно влияющих на систему. Полученная информация важна для проведения дальнейших экспериментов с целью создания более эффективных оптимизирую­щих экспериментов. Результаты отсеивающего эксперимента показывают, какие факторы менее эффективны и должны в дальнейшем получить меньший приоритет при рассмотрении. Для получения достоверных результатов необходимо правильно выбирать значения факторов, с которыми будет проводиться эксперимент. В случаях, когда " область допустимых значений фактора велика, может возникнуть не­обходимость проведения нескольких экспериментов для разных зна­чений факторов из этой области. В общем случае значения каждого фактора желательно выбирать равноудаленно от границ области и друг от друга.

Для того, чтобы воспользоваться встроенным генератором от­сеивающих экспериментов GPSS World, необходимо выполнить пункт меню Edit/Insert Experiment/Screening, в результате чего появится диалоговое окно Screening Experiment Generator. Отсеиваю­щий эксперимент проводится только для двух значений каждого уровня факторов Value 1 и Value 2, так как в его основе лежит ли­нейная регрессионная модель.