Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

3.4. Сбор статистических данных для получения оценок характе­ристик случайных величин

Основными элементами, из совокупности которых складывается вероятностная модель метода статистических испытаний, являются случайные реализации. Очевидно, что при решении некоторой задачи определения характеристик или параметров исходного случайного процесса должен быть определен этот случайный процесс.

Искомыми величинами при использовании метода статистиче­ских испытаний являются оценки:

• вероятности наступления некоторого события;

• математического ожидания случайной величины;

- дисперсии случайной величины;

- коэффициентов ковариации или корреляции случайной величины.

Для оценки вероятности р наступления некоторого события А используется частота наступления этого события

где т - частота наступления события, a N- число опытов.

Для оценки математического ожидания случайной величины используется среднее значение

где х_i - i-я реализация случайной величины.

Для оценки дисперсии случайной величины ξ используют фор­мулу

где S² - оценка дисперсии случайной величины ξ.

Непосредственно использовать эти формулы для вычисления дисперсии сложно, поскольку среднее значение изменяется по мере накопления х_i то есть нужно запоминать все N значений х_i. Поэтому для вычисления используют формулу:

В этом случае достаточно накапливать две суммы значений – х_i и x_i².

Непосредственное использование этой формулы для программирования может привести к переполнению разрядной сетки, если программировать ее в таком порядке, в котором она записана. Необ­ходимо изменить последовательность действий, чтобы избавиться от очень больших чисел и переполнения разрядной сетки компьютера.

Все статистические оценки должны иметь определенные качественные показатели, к которым относятся несмещенность, эффективность и состоятельность оценки.

Для случайных величин ξ и η с возможными значениями х_k , у_k оценка корреляционного момента определяется так

3.5. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин

Число испытаний N определяет точность получаемых результа­тов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра а по результатам моделирования х_i, то за оценку следует брать величи­ну х, которая выступает в функции от x_i.

Из-за случайности х будет отличаться от а, то есть

где ε - точность оценки. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через α:

Для определения точности результатов статистических испытаний необходимо воспользоваться выражением (3.17).

Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события. Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, опреде­ляющего состояние моделированной системы. В любой из N реализа­ций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x₁=1 с вероятностью р и x₂=0 с вероятностью 1-р. Тогда можно найти математическое ожидание

В качестве оценки р используют частоту наступления события А. Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

При условии, что N заведомо задано, достаточно накапливать т:

где ξ_i - наступление события А в реализации, ξ_i = {1,0}.

По формулам (3.18-3.20) находим

В соответствии с центральной предельной теоремой (в данном случае можно взять теорему Лапласа) случайная величина m/N – будет иметь распределение, близкое к нормальному (рис. 3.13). Поэтому для каждой достоверности α из таблиц нормального распределения можно найти такую величину t_a, что точность ε будет равняться ве­личине

При α = 0,95 t_a=l,96.

При α = 0,997 t_a=3.

Подставим в уравнение (3.21) выражение дисперсии

Поскольку вероятность р заранее неизвестна, прибегают к проб­ным испытаниям (N = 50... 100), получают частоту m/N - и подставляют ее значения в выражение (3.23) вместо р, после чего определяют ко­нечное количество испытаний.

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание α и дисперсию σ². В реализации с номером i она принимает значение x_i. Для оценки математического ожидания a используем среднее

В соответствии с центральной предельной теоремой при боль­ших значениях N среднее арифметическое х будет нормально распределено с математическим ожиданием α и дисперсией σ²/N-1. Тогда

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неизвестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить σ², а потом полученное значение оценки подставить в формулу (3.26), чтобы определить необходимое количество реализаций N.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Оцените значения константы π.

Учитывая то, что площадь круга S = πr², используя метод Монте-Карло, найдите площадь круга, а через нее - значение π.

Задача2

Молодой пилот-стажер, который осуществляет свой первый полет, оказался небрежным курсантом и практически ничего не помнил из того, чему его учили. От его пилотирования инструктор сразу же потерял сознание, и при посадке молодому пилоту пришлось полагаться лишь на себя. Вероятность того, что за одну попытку стажер благополучно завершит посадку самолета, составляет 0,1. Определите число заходов на посадку, которое сделает стажер для того, чтобы полет благополучно закончился для него и его инструктора (количество бензина в баках считать неограниченным).

Задача 3

Найдите оценку интеграла , величина которого равняется площади под кривой х^3/2 на отрезке 0 ≤ х ≤1.

Задача 4

Вероятность получения зачета студентом, который не посещал лекционные и практические занятия, составляет 0,13. Найдите оценку вероятности того, что студент получит зачет, если общее число сдач зачета не может превышать 7.

Задача 5

Найдите оценку площади равностороннего треугольника со стороной 1 см. Определите уравнения прямых, которые образуют стороны треугольника и используйте эти выражения в процедуре оценки попадания «случайной» точки в треугольник.

Задача 6

Для получения допуска к экзамену студенту необходимо полу­чить зачет по лабораторным работам (лабораторный курс состоит из К лабораторных работ). Вероятность зачета одной лабораторной работы для студента, который не защищал их в срок, составляет 0,3 за один «заход». Найдите оценку количества дней, нужных студенту на получение допуска к экзамену, если за один день он сможет получить зачет не более чем по одной лабораторной работе (на протяжении се­местра он не защитил ни одной работы).

Задача 7

Стрелку необходимо выбить четыре мишени. Вероятность по­ражения одной мишени составляет 0,14. Найдите оценку количества патронов, которое необходимо стрелку для того, чтобы попасть во все четыре мишени.

Задача 8

Молодой пилот-стажер, который полетел в свой первый полет, оказался небрежным курсантом. От его пилотирования инструктор сразу же потерял сознание, и при посадке молодому пилоту пришлось полагаться лишь на себя. Вероятность того, что за одну попытку ста­жер благополучно совершит посадку самолета, составляет 0,12. Най­дите оценку вероятности того, что полет благополучно закончится для него и его инструктора, если бензина в баках хватает только на 20 кругов, а пилот-стажер для одной попытки посадки делает один круг.

Задача 9 [12]

Багдадский вор заключен в подземелье с тремя дверями. Одни двери ведут на волю, вторые - в длинный туннель, а третьи - в ко­роткий. Попав в один из туннелей, вор снова оказывается в темнице. Он пробует выйти на волю, но при этом не помнит, в какие двери входил прошлый раз, то есть предполагается Марковский процесс. Вероятность того, что вор выберет нужные двери, равняется 0,3; ве­роятность попадания в короткий туннель - 0,2; вероятность попада­ния в длинный туннель - 0,5. Время пребывания вора в коротком туннеле - 3 мин, в длинном - 6 мин. Определите среднее время поис­ка пути на волю. Постройте процедуру статистических испытаний для решения задачи.

Задача 10 [14]

Промоделируйте поведение истребителя-бомбардировщика, по­сланного атаковать некоторый объект ракетами класса «воздух-земля». Каждая ракета наводится индивидуально. Размеры объекта -60x150 м². Заход на атаку происходит в направлении, которое совпадает с направлением длинной оси цели, точка прицеливания- гео­метрический центр цели. Фактическую точку попадания для каждой ракеты можно определить горизонтальным и вертикальным отклоне­ниями (рис. 3.14).

Для расстояния, с которого запускают ракеты, оба отклонения независимые, нормально распределенные величины относительно точки прицеливания и имеют нулевое среднее значение. Среднеквад­ратичное отклонение составляет 60 м в направлении X и 30 м в на­правлении Y.

Задача 11

Промоделируйте случайную двумерную дискретную величину (X,Y). Случайная величина (СВ) X может принимать значения 1, 2, 3, 4, а случайная величина Y- 10, 20, 30, 40, причем каждой паре значе­ний X_iY_i соответствует вероятность p(ij) (см. табл. 3.4).