Файл: Математической физики.doc

. (36)

Упражнение 9. Проверить прямой выкладкой, что функция U(x,t) при x = 0, x = l удовлетворяет ГУ (35).

Замечание. Если функции и таковы, что имеет две и одну непрерывные производные на всей оси, формула (36) дает классическое решение задачи (3, 34, 35), т.е. имеет место теорема существования. Теорема единственности следует из наших рассуждений, если проводить их строго. Устойчивость этой задачи также имеет место, на ее доказательстве мы не останавливаемся.

Физическая интерпретация решения. Отметим на оси x точки вида kl, где k - целое число, и проведем через них характеристики (рис. 9). Область I соответствует точкам струны, до которых в данный момент дошло возмущение только от исходных точек, т.е. фиктивно добавленные бесконечные части на их движение не влияют. В III приходит возмущение от исходной струны и обратная волна от фиктивного куска . Эта обратная волна задается функцией , причем точка (x,t) принадлежит области III. Для области III , поэтому

.

В идно, что обратная волна от фиктивной точки есть с точностью до знака прямая волна от реальной точки, симметричной относительно конца x = l. Прямая волна g₁ из точки в момент дошла до конца струны

---

, отразилась (изменила свое направление) и в момент t пришла в точку .

Итак, в III есть волна от исходного возмущения и прямая волна, отразившаяся от конца x = l. В II есть волна от исходного возмущения и обратная волна, отразившаяся от конца x = 0. Следующие области соответствуют точкам, в которых в данный момент накладываются многократно отраженные волны.

Действие закрепленного (свободного) конца x = 0 или x = l приводит к отражению волны смещения от этого конца, связанному с изменением направления распространения волны на противоположное, с сохранением абсолютной величины смещения и переменой (сохранением) знака смещения.

Влияние граничного режима. При рассмотрении неоднородных ГУ ограничимся условиями I рода, т.е. будем предполагать, что концы струны движутся по известным законам. Решение задачи (3), (33), (34) следует искать в виде суммы



где - решение I НКЗ с однородными ГУ (3, 35, 34), а функции и удовлетворяют НКЗ с нулевыми данными Коши:

(37)



Задачу (37) будем решать так же, как (29) в предыдущем параграфе. Построенное там решение

, где

удовлетворяет (37) при . Когда t достигает , нарушается ГУ на правом конце.

Пусть , волна, бегущая налево и колеблющаяся в точке

---

по закону , описывается функцией . Разность двух волн дает решение задачи (37) при . Продолжая это рассуждение, получим для любого t решение задачи (37) в виде ряда

(38)

При любом фиксированном t сумма (38) содержит конечное число слагаемых. Физически решение (38) означает, что граничный режим создает волну, которая последовательно отражается от обоих концов; решение есть суперпозиция отраженных волн.

Аналогичные рассуждения позволяют построить для функции , удовлетворяющей НКЗ с неоднородным ГУ на правом конце отрезка, ряд

; (39)

здесь функция определяется через аналогично .

Упражнение 10. Проверить прямой выкладкой, что функции и удовлетворяют поставленным НКЗ.

---

§6. Свободные колебания ограниченной струны. Метод Фурье^* (метод разделения переменных)

В этом разделе будет рассмотрен принципиально другой способ решения НКЗ о свободных колебаниях ограниченной струны с закрепленными или свободными концами. В данном частном случае он оказывается труднее, чем метод отражений, но зато он применим во многих других задачах, когда метод отражений не работает. Для определенности ниже рассматривается струна с закрепленными концами, переход к задаче со свободными концами очевиден.

Свободные колебания струны с закрепленными концами описываются уравнением (3) с НУ (34) и ГУ(35):

,

; .

В предыдущих параграфах мы искали общее решение уравнения струны (3), а потом требовали, чтобы оно удовлетворяло НУ и ГУ. Будем теперь искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая – только от t:

. (40)

Подставляя (40) в (3), приходим к равенству

, .

В левой части последнего соотношения стоит функция, зависящая только от t, в правой – только от x; равенство между ними возможно, только если обе части не зависят ни от t, ни от x и равняются некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную через , тогда

.

Видно, что исходное уравнение в частных производных (3) распалось на два ОДУ; в этом случае говорят, что переменные разделились.

Уравнение для функции X(x) нужно дополнить краевыми условиями, которые следуют из (35), в результате для X(x) возникает краевая задача для ОДУ второго порядка:

---

(41)

Необходимо найти все значения параметра , при которых задача (41) имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. Такие значения называются собственными значениями задачи (41), соответствующие решения – ее собственными функциями; сформулированная задача представляет собой простейший случай задачи Штурма − Лиувилля^.

Пусть , общее решение уравнения имеет вид

.

Для выполнения граничных условий необходимо , , откуда следует , т.е. задача имеет только тривиальное решение.

Аналогично при , ГУ дают , и, следовательно, .

При общее решение уравнения

,

на концах выполняются условия , , нетривиальные решения возникают при , следовательно, , . Мы получили последовательность с/з и соответствующих им с/ф:

---