Файл: Математической физики.doc

,

где (отрицательные k не рассматриваем, так как изменение знака k равносильно изменению знака произвольной постоянной ).

Найденные значения подставим в уравнение для , общее решение которого имеет вид

.

В результате получен счетный набор частных (линейно независимых) решений уравнения (3), удовлетворяющих ГУ (35):

.

Переобозначим произвольные постоянные: заменим на , на .

Благодаря линейности и однородности уравнения (3) и ГУ (35), любая линейная комбинация функций также будет удовлетворять уравнению и этим условиям. Составим ряд

. (42)

Сумма ряда удовлетворяет уравнению (3) и ГУ (35). Подберем постоянные и так, чтобы она удовлетворяла также НУ (34). Прямая подстановка дает

.

Написанные ряды представляют собой разложения заданных функций и в ряды Фурье по синусам на промежутке . Коэффициенты этих разложений определяются по известным формулам:

---

. (43)

Ряд (42) с коэффициентами (43) формально удовлетворяет всем условиям поставленной задачи (3), (34), (35).

Нетрудно проверить, что решение в виде ряда совпадает с тем, которое было получено в § 5 методом отражений. При применении формулы Даламбера к ограниченной струне с закрепленными концами мы продолжали функции и , задающие НУ, с на по закону нечетности и потом с периодом 2l − на всю вещественную ось. Такой способ продолжения равносилен разложению этих функций в ряды Фурье по синусам.

Упражнение 11. Разложить продолженные функции , в ряды Фурье по синусам, подставить их в формулу Даламбера (36) и проверить, что полученное представление эквивалентно (42).

Упражнение 12. Решить методом Фурье задачу о свободных колебаниях ограниченной струны с двумя свободными концами и одним закрепленным, а другим свободным концом.

Об оправдании метода Фурье. Формально ряд (42) удовлетворяет уравнению и всем дополнительным условиям поставленной НКЗ. Возникает важный вопрос: при каких условиях на функции и сам этот ряд сходится и сходятся ряды его первых и вторых производных? Ссылаясь на теорию рядов Фурье, можно сформулировать следующие достаточные условия: если функция дважды непрерывно дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную третью производную, функция один раз непрерывно-дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того,

---

, , , ряд (42) сходится абсолютно и равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по x и t. Иными словами, ряд (42) дает классическое решение НКЗ (3), (34), (35) и его можно исследовать “в лоб”.

Во многих физически важных случаях параметры НКЗ не удовлетворяют сформулированным выше достаточным условиям (входящие в задачу функции не обладают достаточной гладкостью). Тем не менее, метод Фурье сохраняет свое значение, ряд (42) дает обобщенное решение задачи. В дальнейшем наша цель – изучить применение метода Фурье к решению задач различных типов и возникающие при этом ряды; вопросы сходимости рядов к классическому решению задачи обсуждаться не будут.

Физическая интерпретация метода Фурье: гармоники и стоячие волны. Преобразуем выражения для , введя амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний:

,

где ; тогда ряд (42) принимает вид суммы гармоник:

.

Каждый член этого ряда описывает стоячую волну, в которой точки струны совершают гармонические колебания с одинаковой фазой и с амплитудой , зависящей от точки. При таком колебании струна издает звук, высота звука зависит от частоты колебаний , , эти частоты называются собственными для данной струны. Звук, соответствующий наименьшей частоте, , называется основным тоном струны, остальные гармоники образуют набор обертонов.

---

Таким образом, решение складывается из основного тона струны и набора обертонов. Амплитуды быстро убывают с ростом k, поэтому влияние обертонов на звук сводится к созданию тембра звука, различного для различных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием обертонов.

На рис.10 показаны положения струны в различные моменты времени, соответствующие двум первым гармоникам. Амплитуда колебаний k-й гармоники обращается в нуль в точках . Эти точки называются узлами k-й гармоники; точки , в которых амплитуда достигает наибольшей величины, называются пучностями. Если в струне возбуждена только k-я гармоника, струна колеблется так, как если бы состояла из k отдельных кусков, закрепленных в узлах. Если прижать струну посередине, в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды основного тона и всех остальных нечетных гармоник, при этом четные гармоники останутся без изменения. В результате вместо своего обычного звука струна будет издавать звук с вдвое большей частотой, т.е. на октаву выше.


Рис.10

---

§7. Вынужденные колебания ограниченной струны. Метод Фурье (метод разделения переменных)

Постановка задачи. Колебания струны под действием распределенной силы описываются неоднородным уравнением (2). Ниже метод Фурье применяется к решению НКЗ (2), (34), (35), рассматриваются вынужденные колебания струны с двумя закрепленными концами. Случаи других однородных ГУ (два свободных конца или смешанные ГУ) исследуются аналогично.

Функцию , удовлетворяющую НКЗ

,

; ,

можно представить в виде суммы решений двух более простых задач: , где - решение НКЗ (3), (34), (35), описывающее свободные колебания струны, которые возникают вследствие заданного начального возмущения. Функция описывает чисто вынужденные колебания, т.е. колебания под действием силы при условии, что в начальный момент струна покоилась. Для функции получено решение в виде ряда (42); необходимо определить .

Решение НКЗ о чисто вынужденных колебаниях струны. Функция удовлетворяет задаче (44):

(44)

Будем искать ее в виде ряда

, (45)

при этом ГУ для

---