Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

7 класс.

Линейные уравнения с параметрами.

Основная цель – углубить, расширить и обобщить сведения о линейных уравнениях, сформировать навык решения ключевых уравнений.

В первую очередь для подготовки к восприятию этого вопроса следует с начала года включать в устную работу на уроках задания, дублирующие материал 5-6 классов, в противном случае учителю не удастся "выкроить" время для изучения уравнений с параметрами, т.к. хорошо известно, что программа по алгебре 7-9 классов чрезвычайно плотная.

При наличии времени обратиться к параметрам можно с рассмотрения следующей задачи: "В 7, 8 и 9-м классах 105 учащихся. В 8-м классе учащихся на n больше, чем в 7-м, а в 9-м-на 3 меньше, чем в 7-м. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не меньше 30 человек?"

Начинаем обсуждение задачи. Учитель пишет на доске конспект решения, ученики работают устно.

Первая часть работы над задачей.

Обозначим через xчисло учащихся в 7-м классе. Тогда в 8-м классе было x+n, а в 9-м классе- x-3 учащихся. Имеем уравнение x+x+n+x-3=105, которое после упрощения примет вид 3x=108-n.

В этом уравнении буквой x обозначено неизвестное число, а буква n выполняет роль известного числа (хотя об n мы можем сказать, что n-натуральное число). Букву nв полученном уравнении называют параметром, а само уравнение – уравнением с параметром.

Уточним, что все эти термины учащимся знакомы, и большинство из них может самостоятельно ответить на вопросы учителя ("Что обозначено буквой x, буквой n?" и т.п.).

Вторая часть работы над задачей.

Выразим x через n, получим x= или x=36- .

Таким образом, в 7-м классе было 36- , в 8-м 36+ , в 9-м 33- учащихся. Но это не окончательный ответ. Из условия задачи следует, что в каждом классе было не менее 30 человек.

Так как меньшее число учащихся может быть в 7-м и 9-м классах, должны выполняться неравенства

---

36-  30 и 33-  30. Отсюда получаем, что n 18 и n 9. Значит, n 9.

Из того, что числа 36- , 36+ и 33- должны быть натуральными, следует, что nкратно 3.

Учитывая эти два условия (n 9 и nкратно 3), заключаем, что nравно 3, 6 или 9.

Поэтому окончательный ответ на вопрос задачи мы можем записать так: в 7-м классе было 36- учащихся, в 8-м классе 36+ и в 9-м классе 33- , где n=3, n=6, n=9.

Иначе говоря, возможны три варианта: в 7-м, 8-м и 9-м классах могло быть соответственно 35, 38, 32; или 34, 40, 31; или 33, 42, 30 учащихся.

Задача очень объемная. Цель ее рассмотрения показать, как "рождаются" задачи с параметрами; зависимость ответа от значения параметра. Поэтому целесообразно первую часть разобрать в форме диалога с учащимися, а далее конструктивно перейти к ответу, акцентировать внимание на возможных значениях n. Непосредственно закончить решение задачи предлагается самостоятельно по желанию, с последующим выставлением оценки в журнал, либо разобрать на факультативном занятии.

Во вводной беседе следует заметить, что изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Формированию некоторых навыков решения таких задач и посвящена данная тема.

Итак, решение линейного уравнения ax=b в общем виде, исследование количества его корней в зависимости от значений параметра относится к задачам с параметром.

Решим ряд устных упражнений типа:

1. Дано уравнение ax=3a+8.

Какое уравнение получится при а) a=10; б) a=2;

в) a =

---

; г) a=0.

2. Является ли уравнение 2ax (a-1)+a=4x-8a линейным

а) относительно x;

б) относительно a.

3. Дано уравнение ax=4x+5.

Найдите множество корней этого уравнения в случае, если a=4, a  4.

После этого восстановим схему решения линейного уравнения ax=b (x –

переменная, a, b – некоторые числа). Для этого можно пригласить к доске сильного ученика.




Однако, учитывая, что решение задачи обычно записывается не блок-схемой, предпочтительно знакомить учащихся со словесным алгоритмом решения. Его они и записывают в тетрадь вслед за учителем.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром

Ax=B(x - неизвестное,A, B - выражения, зависящие только от параметров.

1. Если A  0, то x = .

Уравнение имеет один корень, причем

x>0, если a>0 и b>0 или a<0 и b<0;

x=0, если b=0;

x<0, если a>0 и b<0 или a<0 и b>0.

2. а) Если A=0, B=0

0  x=0, x-любое число.

Уравнение имеет бесконечно много корней.

б) Если A=0, B  0

0  x=B, корней нет.

Уравнение корней не имеет.

Сначала решаем ключевые уравнения, акцентируя внимание на правильную запись ответа.

1. 
   ax=10
   

Решение:

а) Если a  0, то x = ;

б) Если a=0, то 0  x =10, корней нет.
Ответ: при a  0 x = ; при a=0 корней нет.

2. 
   0  x=a
   

Решение:

а) Если a=0, то 0  x=0, x-любое число;

б) Если a  0, то 0  x=a, корней нет.

Ответ: при a=0 x-любое число; при a  0 корней нет.
Обращаем внимание, что значение коэффициента известно, буквой a обозначен свободный член. При решении данного уравнения работает второй шаг алгоритма.

3. 
   2m (m-2) x=m-2
   

Решение:

1. Если 2m (m-2)  0, то m  0, m  2; x = ; x = .

---

2. а) Если m=0, то на первых порах записываем подробно, чтобы ученики видели источник появления уравнения,

2  0 (0-2)  x=0-2,

0  x= – 2,

корней нет.

б) Если m=2, то

2  2 (2-2)  x=2-2,

0  x=0,

x-любое число.

Ответ: при m  0, m  2 x = ;

при m=0 корней нет;

при m=2 x-любое число.

4. 
   ax+3=4a-2x
   

Решение:

Преобразуем уравнение к виду ax=b.

ax+2x=4a-3,

(a+2) x=4a-3.

1. Если a+2  0, то

a –2, x = ;

2. Если a= –2, то

(–2+2) x=4 (–2)-3,

0  x= –11,

корней нет.

Ответ: при a  –2 x = ;

при a= –2 корней нет.

5. При каком значении параметра а уравнение = имеет корень:

а) больший нуля; б) меньший нуля; в) равный нулю?

Решение:

=

Умножим обе части уравнения на 12:

20x-4a=18x-3;

20x-18x=4a-3;

2x=4a-3;

x = ;

x=2a-1,5.

а) x>0, если 2a-1,5>0, 2a>1,5, a>0,75;

б) x<0, если 2a-1,5<0, 2a<1,5, a<0,75;

в) x=0, если 2a-1,5= 0, 2a=1,5, a=0,75.
Ответ: при a>0,75 x>0;

при a<0,75 x<0;

при a=0,75 x=0.

Далее учащиеся решают блок задач на отработку задач типа 1-5. Такие задачи составляются весьма легко.

6. Составить линейное уравнение, обе части которого содержат параметр a так, чтобы уравнение имело решение при любом действительном a.

Ответ: (a²+1) x=a или ax=a.
7. При каком целом неотрицательном значении n уравнение - =1имеет целые корни?

Решение:

---

Умножим обе части уравнения на 9:

4n-6-3 (x-2)=9;

4n-6-3x+6=9;

–3x=9-4n;

x = ;

x = .

Уравнение имеет целые корни, если 4n-9 кратно числу 3, следовательно, 4n кратно числу 3, отсюда n=3k, где k-натуральное число.

Ответ: n=3k, k  N.

8. Решить уравнение x-xy+5y=7в целых числах.

Решение:

Решим это уравнение относительно x, т.е. букву y будем считать параметром.

Имеем:

x-xy=7-5y;

x (1-y)=7-5y;

x = ;

Выделим из дроби целую часть:

= = - =5- .

Итак, x=5- . Дробь обращается в целое число лишь при тех значениях y, при которых y-1 является делителем числа 2, т.е. при y, равном –1, 0, 2, 3.

Вычислим соответствующие значения x:

Если y=–1, то x=5- =6;

Если y=0, то x=5- =7;

Если y=2, то x=5- =3;

Если y=3, то x=5- =4.

Ответ: x₁=6; y₁=–1;

x₂=7; y₂=0;

x₃=3; y₃=2;

x₄=4; y₄=3.

Чуть позже, когда будут изучены формулы сокращенного умножения, можно предложить следующие задачи:

9. Решить относительно x уравнение

---