Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 198
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
быть основательно проработано в классе, так как в их решении есть "подводные камни", которые должны преодолеть восьмиклассники.
Далее можно предложить учащимся самостоятельно составить словесное описание алгоритма решения таких уравнений.
Алгоритм решения уравнения с параметрами, сводящегося к линейному
1. Найти область допустимых значений неизвестного и параметров, входящих в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, преобразовать к виду линейного.
3. Найти недопустимые значения параметра.
4. Решить линейное уравнение с параметром.
5. Выписать ответ с учетом пунктов 3, 4.
Для формирования навыка решим следующие уравнения:
Решение:
1. ОДЗ: x –1;
2. Умножим обе части уравнения на x+1 0, получим:
x=a (x+1),
x=ax+a,
x-ax=a,
(1-a) x=a.
3. Найдем недопустимые значения a:
Если x=–1, то (1-a) (– 1)=a, a-1=a, 0 a=1, корней нет.
Не существует значений a, при которых x=–1.
4. (1-a) x=a.
1) Если 1-a 0, a 1, то x =
;
2) Если 1-a=0, a=1, то 0 x=1, корней нет.
Ответ: при a 1 x =
;
при a=1 корней нет.
Ответ: при a 1 x=a;
при a=1корней нет.
Решение:
1.ОДЗ: x –3; x 2;
a –1;
2.Упростим уравнение:
=
-
,
После преобразований, которые учащиеся выполняют самостоятельно, получим:
2ax=1-a.
3. Найдем недопустимые значения a:
1) Если x=–3, то 2a (–3)=1-a,
–6a=1-a,
–5a=1,
a=–0,2.
2) Если x=2, то 2a 2=1-a,
5a=1,
a=0,2.
При a= 0,2 корней нет.
4.2ax=1-a.
1) Если 2a 0, a 0, то x =
;
2) Если 2a=0, a=0, то 0 x=1, корней нет.
Ответ: при a –1, a 0,2, a 0 x = ;
при a=–1, a= 0,2, a=0корней нет.
Ответ: при m 1, m –0,4 , m 2,25 x =
;
при m=–0,4 , m=2,25 , корней нет;
при m=1 уравнение не имеет смысла.
Следующие два уравнения можно отнести в банк задач и рассмотреть их решение в любое удобное время вплоть до 11 класса.
Решение:
1.ОДЗ: x –3a; x –b.
2.a (b+x)=6a+2x,
(a-2) x=a (6-b).
3.Найдем недопустимые значения aи b:
1) Если x=–3a, то (a-2) (–3a)=a (6-b);
a (b-3a)=0;
2)Если x=–b, то (a-2) (–b)=a (6-b),
2b=6a,
b=3a.
При a=0 и b=3aкорней нет.
4.(a-2) x=a (6-b).
1. Если a-2 0, a 2, то x =
;
2. Если a-2=0, a=2, то 0x=2 (6-b),
а) при b 6 0 x=12-2b, корней нет;
б) при b=6 0 x=0, x-любое число.
Ответ: при a 0, a 2, b 3a x =
;
при a=0 корней нет;
при a=2, b 6 корней нет;
при a=2, b=6 x-любое число;
при a 2, b=3aкорней нет.
Задачу можно усложнить, потребовав исследовать знаки корней, тогда в ответе появится дополнение:
x>0 при
x=0 при b=6;
x<0 при
Аналогичным требованием можно усложнить задачу 3, тогда:
x>0 при k (4; 6) U (6; 9),
x=0 при k=4;
x<0 при k (; 6) U ( 6; 4) U (9; ).
Требуется применить метод интервалов.
Решение:
1. ОДЗ: aR, bR, xb2.
2. Умножим обе части уравнения на b4-x2 0
(a-b)2x=a2-b2.
3. Найдем недопустимые значения aи b (ab):
1) Если x=b2, то (a-b)2b2=a2-b2;
a =
;
2) Если x=–b2, то (a-b)2( b2)=a2-b2,
a =
;
При a =
, a =
корней нет.
4.(a-b)2x=a2-b2.
1) Если (a-b)2 0, a b, то x =
;
x =
.
2) Если (a-b)2=0, a=b, то
0x=0, x-любое число, кромеx=b2(из ОДЗ).
Ответ: при a b, a , a x = ;
при a=b, x-любое число, кроме b2;
при a = , a = решений нет.
При решении уравнений такого вида от учащихся требуется строгое соблюдение алгоритма. Если позволять менять местами шаги 3 и 4, то практика показывает, что шаг 3 учащиеся в решении теряют.
Также обращается особое внимание на строгость порядка при выписке ответа, рассмотрение последовательно всех значений параметра согласно решению.
Из ранее изученного восьмиклассникам на факультативе можно предложить такие задания:
Решение:
Это уравнение равносильно системе
Ответ: при a 0, x=1;
при a=0, x= 1.
имела хотя бы одно решение.
Решение:
Систему решаем методом подстановки.
Подставим yв уравнение (2), получим:
;
1.Если
,
a 
,то=
.
Уравнение, а значит, и система, имеют решение при любом действительном b.
2. Если
, 
,то 
.
Уравнение имеет решение при
.
Значит, независимо от значения aсистема будет иметь решения при .
Ответ: .
В восьмом классе более серьезно изучаются графики функции. Восьмиклассники знакомы с элементарными преобразованиями графиков. Поэтому целесообразно после изучения функции y=
рассмотреть задания, в которых применяется графический способ решения, и его применение преимущественно.
Решение:
Построим график функции y=x 2, проведя ряд последовательных преобразований: y=x-2 y=x 2 y=x 2 , и график функции y=a.
О
Далее можно предложить учащимся самостоятельно составить словесное описание алгоритма решения таких уравнений.
Алгоритм решения уравнения с параметрами, сводящегося к линейному
1. Найти область допустимых значений неизвестного и параметров, входящих в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, преобразовать к виду линейного.
3. Найти недопустимые значения параметра.
4. Решить линейное уравнение с параметром.
5. Выписать ответ с учетом пунктов 3, 4.
Для формирования навыка решим следующие уравнения:
-
=a.
Решение:
1. ОДЗ: x –1;
2. Умножим обе части уравнения на x+1 0, получим:
x=a (x+1),
x=ax+a,
x-ax=a,
(1-a) x=a.
3. Найдем недопустимые значения a:
Если x=–1, то (1-a) (– 1)=a, a-1=a, 0 a=1, корней нет.
Не существует значений a, при которых x=–1.
4. (1-a) x=a.
1) Если 1-a 0, a 1, то x =
;2) Если 1-a=0, a=1, то 0 x=1, корней нет.
Ответ: при a 1 x =
;при a=1 корней нет.
-
=0.
Ответ: при a 1 x=a;
при a=1корней нет.
-
=
-
.
Решение:
1.ОДЗ: x –3; x 2;
a –1;
2.Упростим уравнение:
=
- ,После преобразований, которые учащиеся выполняют самостоятельно, получим:
2ax=1-a.
3. Найдем недопустимые значения a:
1) Если x=–3, то 2a (–3)=1-a,
–6a=1-a,
–5a=1,
a=–0,2.
2) Если x=2, то 2a 2=1-a,
5a=1,
a=0,2.
При a= 0,2 корней нет.
4.2ax=1-a.
1) Если 2a 0, a 0, то x =
;2) Если 2a=0, a=0, то 0 x=1, корней нет.
Ответ: при a –1, a 0,2, a 0 x =
;при a=–1, a= 0,2, a=0корней нет.
-
+
=
.
Ответ: при m 1, m –0,4 , m 2,25 x =
;при m=–0,4 , m=2,25 , корней нет;
при m=1 уравнение не имеет смысла.
Следующие два уравнения можно отнести в банк задач и рассмотреть их решение в любое удобное время вплоть до 11 класса.
-
=
.
Решение:
1.ОДЗ: x –3a; x –b.
2.a (b+x)=6a+2x,
(a-2) x=a (6-b).
3.Найдем недопустимые значения aи b:
1) Если x=–3a, то (a-2) (–3a)=a (6-b);
a (b-3a)=0;
2)Если x=–b, то (a-2) (–b)=a (6-b),
2b=6a,
b=3a.
При a=0 и b=3aкорней нет.
4.(a-2) x=a (6-b).
1. Если a-2 0, a 2, то x =
;
2. Если a-2=0, a=2, то 0x=2 (6-b),
а) при b 6 0 x=12-2b, корней нет;
б) при b=6 0 x=0, x-любое число.
Ответ: при a 0, a 2, b 3a x =
;при a=0 корней нет;
при a=2, b 6 корней нет;
при a=2, b=6 x-любое число;
при a 2, b=3aкорней нет.
Задачу можно усложнить, потребовав исследовать знаки корней, тогда в ответе появится дополнение:
x>0 при
x=0 при b=6;
x<0 при
Аналогичным требованием можно усложнить задачу 3, тогда:
x>0 при k (4; 6) U (6; 9),
x=0 при k=4;
x<0 при k (; 6) U ( 6; 4) U (9; ).
Требуется применить метод интервалов.
-
=
.
Решение:
1. ОДЗ: aR, bR, xb2.
2. Умножим обе части уравнения на b4-x2 0
(a-b)2x=a2-b2.
3. Найдем недопустимые значения aи b (ab):
1) Если x=b2, то (a-b)2b2=a2-b2;
a =
;2) Если x=–b2, то (a-b)2( b2)=a2-b2,
a =
;
При a =
, a = корней нет.4.(a-b)2x=a2-b2.
1) Если (a-b)2 0, a b, то x =
;x =
.2) Если (a-b)2=0, a=b, то
0x=0, x-любое число, кромеx=b2(из ОДЗ).
Ответ: при a b, a
, a x = ;при a=b, x-любое число, кроме b2;
при a =
, a = решений нет.При решении уравнений такого вида от учащихся требуется строгое соблюдение алгоритма. Если позволять менять местами шаги 3 и 4, то практика показывает, что шаг 3 учащиеся в решении теряют.
Также обращается особое внимание на строгость порядка при выписке ответа, рассмотрение последовательно всех значений параметра согласно решению.
Из ранее изученного восьмиклассникам на факультативе можно предложить такие задания:
-
Решить уравнение x2-1+a (x-1)=0.
Решение:
Это уравнение равносильно системе
Ответ: при a 0, x=1;
при a=0, x= 1.
-
Найти все значения параметра bтакие, что при любых значениях параметра a система:
имела хотя бы одно решение.
Решение:
Систему решаем методом подстановки.
Подставим yв уравнение (2), получим:
; 1.Если
, a ,то= .Уравнение, а значит, и система, имеют решение при любом действительном b.
2. Если
, ,то .Уравнение имеет решение при
.Значит, независимо от значения aсистема будет иметь решения при
.Ответ:
.В восьмом классе более серьезно изучаются графики функции. Восьмиклассники знакомы с элементарными преобразованиями графиков. Поэтому целесообразно после изучения функции y=
рассмотреть задания, в которых применяется графический способ решения, и его применение преимущественно.-
Сколько корней имеет уравнение x 2=a при различных значениях параметра a?
Решение:
Построим график функции y=x 2, проведя ряд последовательных преобразований: y=x-2 y=x 2 y=x 2 , и график функции y=a.
О