Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 288
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1.1. Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции
1.2. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Природа сторонних сил. Правило Ленца.
2.1. Незатухающие механические колебания
2.2. Сложение гармонических колебаний
2.4. Вынужденные механические колебания
2.6. Свободные незатухающие электромагнитные колебания.
2.7. Затухающие электромагнитные колебания
4.4. Природа электромагнитного излучения. Корпускулярно-волновой дуализм
5. Элементы квантовой механики
5.1. Идея де Бройля. Опыты, подтверждающие волновые свойства микрочастиц
5.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
5.3. Волновая функция. Стандартные условия. Уравнение Шредингера.
того чтобы проверить тот факт, ч
то дифракционная картина не была получена фотонами, которые могут выбивать электроны, попадая на металлическую пластинку, установка помещалась в магнитное поле.
Рис. 5.2
В этом случае картина дифракции смещалась, что связано с тем, что на электроны, прошедшие металлическую фольгу, действовала со стороны магнитного поля сила Лоренца. Если бы картина дифракции была бы создана фотонами (у них электрический заряд равен нулю и сила Лоренца на них не действует), такого смещения не наблюдалось бы.
Аналогичные опыты были поставлены и для других микрочастиц (протоны, атомы, молекулы и т.д.). Все это подтвердило наличие волновых свойств у потока микрочастиц.
3. Опыты Бибермана, Сушкина и Фабриканта. Из приведенных выше опытов не было ясно, чему приписать волновые свойства – потоку частиц или отдельной частице.
Для ответа на этот вопрос учеными Л. Биберманом, Н. Сушкиным и В. Фабрикантом был поставлен следующий опыт. На установке, подобной установке в опыте Тартаковского и Томпсона, была создана малая интенсивность пучка электронов, а именно, промежуток времени между последовательными вылетами двух электронов из электронной пушки в 40 000 раз превышал время пролета одним электроном всей установки. Этим самым исключалось влияние других электронов на прохождение одним электроном всей установки.
Результаты опыта оказались следующими: отдельный электрон, проходя установку, случайно отклонялся и попадал в какую-то точку экрана (в этом месте экрана на фоточувствительной пластинке появлялась темная точка), при накоплении достаточно большого числа электронов хаотичная картина случайных точек на экране превращалась в упорядоченную картину дифракции.
Таким образом, было доказано, что волновыми свойствами обладает отдельно движущийся электрон. Итак, микрочастица обладает волновыми свойствами, которые проявляются в вероятностном характере ее поведения, в различной вероятности ее обнаружения в разных точках пространства.
В отличие от классических частиц, микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому для них не всегда применимы такие классические понятия, как координата, импульс, время, энергия, траектория движения и т.д. В связи с этим возникают ограничения на применимость этих понятий для описания движения микрочастиц. Эти ограничения устанавливаются соотношениями неопределенностей Гейзенберга, согласно которым произведение неопределенностей ( ) двух сопряженных величин (А, В) не может быть меньше постоянной Планка [4]:
. (5.2)
В формуле (5.2) в правой части в разных учебных пособиях записывают либо , либо , либо h. Здесь важен порядок величины, а не конкретная цифра.
Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений. Так, в квантовой механике сопряженными величинами являются следующие пары величин: координата и соответствующая ей проекция импульса микрочастицы, а также энергия и время.
Приведем ряд примеров на соотношение неопределенностей Гейзенберга.
1. Сопряженными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса . Тогда для них соотношение (5.2) можно записать в виде
. (5.3)
Отметим, что такое же неравенство справедливо и для других координат ( ) и соответствующим им проекциям импульса:
, . (5.4)
Если координата и проекция импульса друг другу не соответствуют, то тогда они одновременно могут иметь точные значения, для них соотношения неопределенностей Гейзенберга не выполняются. Например, , , , .
Для того чтобы показать справедливость формул (5.3), (5.4) рассмотрим пример прохождения электроном щели шириной а (рис. 5.3,а). Волновые свойства электрона приводят к тому, что при прохождении им щели понятие траектории для электрона будет неприменимо (иначе он попадал бы только в центр экрана). Вследствие этого он случайным образом меняет направление своего первоначального движения, попадая с различной вероятностью в разные точки экрана – наибольшей вероятности соответствует наибольшая интенсивность при дифракции электронного пучка на одной щели. Если посылать на щель по одному электрону, то тогда при накоплении достаточно большого числа электронов на экране возникнет дифракционная картина. Причем максимальной интенсивности дифракционной картины будет соответствовать наибольшая вероятность попадания электрона в данную точку экрана. Итак, волновые свойства электрона описывают вероятность его обнаружения в разных точках экрана (пространства).
Рис. 5.3
При прохождении щели неопределенность координаты будет равна , а после прохождения щели разброс импульсов электрона будет располагаться, в основном, в пределах первого максимума дифракционной картины при дифракции света на одной щели. Из рис. 5.3,а видно, что
,
и поэтому
,
что и требовалось показать.
При оценке было учтено, что первый минимум при дифракции электронов на одной щели наблюдается при угле , определяемом из условия дифракционных минимумов (3.22).
Отметим, что неизвестно каким образом электроны проходят щель, что происходит с электронами в области щели, и новая теория квантовой механики не дает ответа на этот вопрос, она лишь дает результаты прохождения пучком электронов преграды с одной щелью.
. (5.5)
В формуле (5.5) - энергия частицы в квантовом состоянии, - неопределенность (ширина, размытие или разброс) по энергии данного квантового состояния, - неопределенность времени жизни частицы в данном квантовом состоянии.
Выражение (5.5) приводит к тому, что каждая линия излучения имеет естественную ширину или каждый излучаемый фотон имеет разброс по частотам. Поясним это с помощью рис. 5.3,б. В основном состоянии атом может находиться сколь угодно долго ( ) и поэтому ширина по энергии такого состояния равна нулю: . В возбужденном состоянии атом может находиться в течение времени, равном , что приводит к размытию по энергии возбужденного уровня энергии атома: . Поэтому излучаемый при переходе в основное состояние фотон будет иметь разброс по частоте [4], равный .
Запишем условия, при которых для описания движения микрочастиц, обладающих волновыми свойствами, можно применять законы классической механики. Это возможно, если применимо понятие траектории, т.е. одновременно с достаточной степенью точности можно пользоваться понятиями координаты и импульса для микрочастицы
<<1, <<1 . (5.6)
В формуле (5.6) величина L представляет собой характерный размер установки. Эти условия можно объединить в одно, выражая неопределенности задания импульса и координаты из соотношений неопределенностей Гейзенберга (5.3) и перемножая неравенства в формуле (5.6)
<<1, <<1 . (5.7)
Согласно формуле (5.7) классическая механика применима для описания движения микрочастиц, если можно пренебречь волновыми свойствами частицы, т.е. длина волны де Бройля существенно меньше характерного размера установки [4].
Приведем ряд примеров, поясняющих условия (5.6) и (5.7).
Пример 1. Движение электрона в электронно-лучевой трубке. Пусть длина трубки составляет l= 0,10 см, напряжение на трубке U= 10 кВ. За счет расходимости пучка электронов радиус пятна на экране составляет r= м.
Оценим точность задания импульса электрона. Из рис. 5.4 можно видеть, что
,
т.е. понятием импульса можно пользоваться с достаточной степенью точности.
Рис. 5.4
Оценим точность задания координаты электронов. Характерным размером установки здесь является радиус пятна пучка электронов на экране . Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга (5.3), получим
.
Как видно, координата электронов так же задана с достаточной степенью точности, т.е. движение электронов в электронно-лучевой трубке можно описывать с помощью уравнений классической механики.
Пример 2. Электрон в атоме. Размеры атома составляют , они являются характерным размером данной задачи. Из теории Бора для атома водорода известно, что скорость электрона на первой боровской орбите равна . Оценим длину волны де Бройля, соответствующую электрону в атоме водорода
.
Следовательно, при описании поведения электрона в атомах необходимо использовать новую теорию – квантовую механику.
1>1>
Итак, движению микрочастицы соответствует волновой процесс с длиной волны . Возникает вопрос о природе этих волн де Бройля. Сначала считали, что волны де Бройля это электромагнитные волны, а микрочастица представляет собой волновой пакет из ЭМВ. Однако такое представление оказалось неверным, так как из–за явления дисперсии волновой пакет (совокупность ЭМВ с частотами, заключенными в интервале от до ( + ), распространяясь в среде, расплывается, что противоречит стабильности существования микрочастиц.
Правильная трактовка природы волн де Бройля была дана М. Борном в 1927 г. Согласно Борну волны де Бройля это волны вероятности, а волновая функция представляет собой амплитуду вероятности. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции – это плотность вероятности , она равна отношению вероятности dP(x,y,z,t) найти частицу в момент времени t в бесконечно малом объеме dV, взятом около точки с координатами (x,y,z), к величине этого объема dV
. (5.8)
В связи с вероятностным смыслом волновой функции на нее накладываются стандартные условия, а именно, волновая функция и ее частные производные по координатам должны быть непрерывными, однозначными и конечными.
На рис. 5.5,а показаны точки, которые должны отсутствовать на графике для волновой функции или для модуля квадрата волновой функции.
Для волновой функции справедливо условие нормировки
, (5.9)
оно дает вероятность найти частицу в какой-то момент времени в объеме ее существования, это есть вероятность достоверного события, и поэтому такой интеграл равен единице.
Рис. 5.5
Рассмотрим теперь, как решается задача о движении частицы в классической и квантовой механике. В классической механике состояние частицы в какой-то момент времени определяется заданием ее координат и импульса. Поэтому схема решения задачи здесь выглядит следующим образом: задаются координаты и импульс частицы в начальный момент времени, затем решается уравнение второго закона Ньютона и в итоге получают координаты и импульс в конечный момент времени.
Такую схему решения задачи в квантовой механике применить нельзя, так как из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга нельзя одновременно точно задать координаты и импульс частицы. Здесь состояние частицы однозначно определяется заданием ее волновой функции, поэтому решается уравнение для этой волновой функции и таким образом однозначно находится конечное состояние частицы, т. е. ее волновая функция в момент времени
то дифракционная картина не была получена фотонами, которые могут выбивать электроны, попадая на металлическую пластинку, установка помещалась в магнитное поле.
Рис. 5.2
В этом случае картина дифракции смещалась, что связано с тем, что на электроны, прошедшие металлическую фольгу, действовала со стороны магнитного поля сила Лоренца. Если бы картина дифракции была бы создана фотонами (у них электрический заряд равен нулю и сила Лоренца на них не действует), такого смещения не наблюдалось бы.
Аналогичные опыты были поставлены и для других микрочастиц (протоны, атомы, молекулы и т.д.). Все это подтвердило наличие волновых свойств у потока микрочастиц.
3. Опыты Бибермана, Сушкина и Фабриканта. Из приведенных выше опытов не было ясно, чему приписать волновые свойства – потоку частиц или отдельной частице.
Для ответа на этот вопрос учеными Л. Биберманом, Н. Сушкиным и В. Фабрикантом был поставлен следующий опыт. На установке, подобной установке в опыте Тартаковского и Томпсона, была создана малая интенсивность пучка электронов, а именно, промежуток времени между последовательными вылетами двух электронов из электронной пушки в 40 000 раз превышал время пролета одним электроном всей установки. Этим самым исключалось влияние других электронов на прохождение одним электроном всей установки.
Результаты опыта оказались следующими: отдельный электрон, проходя установку, случайно отклонялся и попадал в какую-то точку экрана (в этом месте экрана на фоточувствительной пластинке появлялась темная точка), при накоплении достаточно большого числа электронов хаотичная картина случайных точек на экране превращалась в упорядоченную картину дифракции.
Таким образом, было доказано, что волновыми свойствами обладает отдельно движущийся электрон. Итак, микрочастица обладает волновыми свойствами, которые проявляются в вероятностном характере ее поведения, в различной вероятности ее обнаружения в разных точках пространства.
5.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
5.2.1. Соотношения неопределенностей как проявление волновых свойств
В отличие от классических частиц, микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому для них не всегда применимы такие классические понятия, как координата, импульс, время, энергия, траектория движения и т.д. В связи с этим возникают ограничения на применимость этих понятий для описания движения микрочастиц. Эти ограничения устанавливаются соотношениями неопределенностей Гейзенберга, согласно которым произведение неопределенностей ( ) двух сопряженных величин (А, В) не может быть меньше постоянной Планка [4]:
. (5.2)
В формуле (5.2) в правой части в разных учебных пособиях записывают либо , либо , либо h. Здесь важен порядок величины, а не конкретная цифра.
Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений. Так, в квантовой механике сопряженными величинами являются следующие пары величин: координата и соответствующая ей проекция импульса микрочастицы, а также энергия и время.
Приведем ряд примеров на соотношение неопределенностей Гейзенберга.
1. Сопряженными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса . Тогда для них соотношение (5.2) можно записать в виде
. (5.3)
Отметим, что такое же неравенство справедливо и для других координат ( ) и соответствующим им проекциям импульса:
, . (5.4)
Если координата и проекция импульса друг другу не соответствуют, то тогда они одновременно могут иметь точные значения, для них соотношения неопределенностей Гейзенберга не выполняются. Например, , , , .
Для того чтобы показать справедливость формул (5.3), (5.4) рассмотрим пример прохождения электроном щели шириной а (рис. 5.3,а). Волновые свойства электрона приводят к тому, что при прохождении им щели понятие траектории для электрона будет неприменимо (иначе он попадал бы только в центр экрана). Вследствие этого он случайным образом меняет направление своего первоначального движения, попадая с различной вероятностью в разные точки экрана – наибольшей вероятности соответствует наибольшая интенсивность при дифракции электронного пучка на одной щели. Если посылать на щель по одному электрону, то тогда при накоплении достаточно большого числа электронов на экране возникнет дифракционная картина. Причем максимальной интенсивности дифракционной картины будет соответствовать наибольшая вероятность попадания электрона в данную точку экрана. Итак, волновые свойства электрона описывают вероятность его обнаружения в разных точках экрана (пространства).
Рис. 5.3
При прохождении щели неопределенность координаты будет равна , а после прохождения щели разброс импульсов электрона будет располагаться, в основном, в пределах первого максимума дифракционной картины при дифракции света на одной щели. Из рис. 5.3,а видно, что
,
и поэтому
,
что и требовалось показать.
При оценке было учтено, что первый минимум при дифракции электронов на одной щели наблюдается при угле , определяемом из условия дифракционных минимумов (3.22).
Отметим, что неизвестно каким образом электроны проходят щель, что происходит с электронами в области щели, и новая теория квантовой механики не дает ответа на этот вопрос, она лишь дает результаты прохождения пучком электронов преграды с одной щелью.
-
Сопряженными величинами являются энергия и время (А = W, В =t). Для них соотношение (5.2) запишется в виде
. (5.5)
В формуле (5.5) - энергия частицы в квантовом состоянии, - неопределенность (ширина, размытие или разброс) по энергии данного квантового состояния, - неопределенность времени жизни частицы в данном квантовом состоянии.
Выражение (5.5) приводит к тому, что каждая линия излучения имеет естественную ширину или каждый излучаемый фотон имеет разброс по частотам. Поясним это с помощью рис. 5.3,б. В основном состоянии атом может находиться сколь угодно долго ( ) и поэтому ширина по энергии такого состояния равна нулю: . В возбужденном состоянии атом может находиться в течение времени, равном , что приводит к размытию по энергии возбужденного уровня энергии атома: . Поэтому излучаемый при переходе в основное состояние фотон будет иметь разброс по частоте [4], равный .
5.2.2. Условия применимости классической механики для описания движения микрочастиц
Запишем условия, при которых для описания движения микрочастиц, обладающих волновыми свойствами, можно применять законы классической механики. Это возможно, если применимо понятие траектории, т.е. одновременно с достаточной степенью точности можно пользоваться понятиями координаты и импульса для микрочастицы
<<1, <<1 . (5.6)
В формуле (5.6) величина L представляет собой характерный размер установки. Эти условия можно объединить в одно, выражая неопределенности задания импульса и координаты из соотношений неопределенностей Гейзенберга (5.3) и перемножая неравенства в формуле (5.6)
<<1, <<1 . (5.7)
Согласно формуле (5.7) классическая механика применима для описания движения микрочастиц, если можно пренебречь волновыми свойствами частицы, т.е. длина волны де Бройля существенно меньше характерного размера установки [4].
Приведем ряд примеров, поясняющих условия (5.6) и (5.7).
Пример 1. Движение электрона в электронно-лучевой трубке. Пусть длина трубки составляет l= 0,10 см, напряжение на трубке U= 10 кВ. За счет расходимости пучка электронов радиус пятна на экране составляет r= м.
Оценим точность задания импульса электрона. Из рис. 5.4 можно видеть, что
,
т.е. понятием импульса можно пользоваться с достаточной степенью точности.
Рис. 5.4
Оценим точность задания координаты электронов. Характерным размером установки здесь является радиус пятна пучка электронов на экране . Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга (5.3), получим
.
Как видно, координата электронов так же задана с достаточной степенью точности, т.е. движение электронов в электронно-лучевой трубке можно описывать с помощью уравнений классической механики.
Пример 2. Электрон в атоме. Размеры атома составляют , они являются характерным размером данной задачи. Из теории Бора для атома водорода известно, что скорость электрона на первой боровской орбите равна . Оценим длину волны де Бройля, соответствующую электрону в атоме водорода
.
Следовательно, при описании поведения электрона в атомах необходимо использовать новую теорию – квантовую механику.
1>1>
5.3. Волновая функция. Стандартные условия. Уравнение Шредингера.
Итак, движению микрочастицы соответствует волновой процесс с длиной волны . Возникает вопрос о природе этих волн де Бройля. Сначала считали, что волны де Бройля это электромагнитные волны, а микрочастица представляет собой волновой пакет из ЭМВ. Однако такое представление оказалось неверным, так как из–за явления дисперсии волновой пакет (совокупность ЭМВ с частотами, заключенными в интервале от до ( + ), распространяясь в среде, расплывается, что противоречит стабильности существования микрочастиц.
Правильная трактовка природы волн де Бройля была дана М. Борном в 1927 г. Согласно Борну волны де Бройля это волны вероятности, а волновая функция представляет собой амплитуду вероятности. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции – это плотность вероятности , она равна отношению вероятности dP(x,y,z,t) найти частицу в момент времени t в бесконечно малом объеме dV, взятом около точки с координатами (x,y,z), к величине этого объема dV
. (5.8)
В связи с вероятностным смыслом волновой функции на нее накладываются стандартные условия, а именно, волновая функция и ее частные производные по координатам должны быть непрерывными, однозначными и конечными.
На рис. 5.5,а показаны точки, которые должны отсутствовать на графике для волновой функции или для модуля квадрата волновой функции.
Для волновой функции справедливо условие нормировки
, (5.9)
оно дает вероятность найти частицу в какой-то момент времени в объеме ее существования, это есть вероятность достоверного события, и поэтому такой интеграл равен единице.
Рис. 5.5
Рассмотрим теперь, как решается задача о движении частицы в классической и квантовой механике. В классической механике состояние частицы в какой-то момент времени определяется заданием ее координат и импульса. Поэтому схема решения задачи здесь выглядит следующим образом: задаются координаты и импульс частицы в начальный момент времени, затем решается уравнение второго закона Ньютона и в итоге получают координаты и импульс в конечный момент времени.
Такую схему решения задачи в квантовой механике применить нельзя, так как из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга нельзя одновременно точно задать координаты и импульс частицы. Здесь состояние частицы однозначно определяется заданием ее волновой функции, поэтому решается уравнение для этой волновой функции и таким образом однозначно находится конечное состояние частицы, т. е. ее волновая функция в момент времени