Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

Пусть тело (м.т.) одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих вдоль осей и

, (2.21)

В общем случае, в результате сложения этих колебаний материальная точка будет двигаться по траектории, определяемой соотношением их частот, амплитуд и разности начальных фаз .

а) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы

Проводя математические преобразования и избавляясь от временной зависимости, получим уравнение траектории результирующего движения:

(2.22)

Рассмотрим некоторые примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

Частные случаи:

1) ; ; ;

(2.23)

– уравнение прямой. Траектория движения в этом случае изображена на рис. 2.9,а.

2) ; ;

(2.24)

– уравнение прямой. Траектория результирующего движения изображена на рис. 2.9,б.

3)

(2.25)

– уравнение эллипса (при получается окружность).

Рис. 2.9

Траектория результирующего движения изображена на рис.2.9,в.

Разность начальных фаз определяет направление движения точки по траектории.

Рассмотрим направление движения м.т. по эллиптической траектории. В момент времени t= 0 м.т. находится в точке с координатами х = А, у = 0. Для разности фаз ее движение по эллиптической траектории будет происходить по направлению движения часовой стрелки, и соответственно против движения часовой стрелки для разности фаз, равной [3].

Действительно, если , то тогда для малых значений времени t координата у будет меньше нуля ( ), что соответствует движению по направлению часовой стрелки [3].

Приведенные на рис.2.9 траектории движения м.т. называют фигурами Лиссажу. В случае если частоты складываемых колебаний различны, получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу можно применять для определения частоты какого-либо гармонического колебания (сигнала). Для этого нужно на входы х и у осциллографа подать два сигнала – с известной (колебание поступает от генератора электромагнитных колебаний, его можно плавно изменять) и неизвестной частотой. Изменяя частоту генератора можно добиться устойчивой фигуры Лиссажу и, зная по ее виду отношение частот складываемых колебаний определить неизвестную частоту.

2.3. Затухающие колебания

2.3.1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

В реальных условиях механические колебания всегда происходят в какой-либо среде. Взаимодействие колеблющейся механической системы со средой приводит к рассеянию (диссипации) энергии, она превращается во внутреннюю энергию среды.

В этом случае на тело, совершающего колебания, действуют квазиупругая сила (или упругая сила) и сила сопротивления среды , которая в частном случае при малых скоростях движения тела прямо пропорциональна его скорости движения и направлена противоположно ей.

, (2.26)

где коэффициент называют коэффициентом сопротивления среды.

Работа силы сопротивления приводит к уменьшению механической энергии замкнутой системы и уменьшению амплитуды колебаний. Для получения уравнения выражающего зависимость смещения х тела от положения равновесия с течением времени, запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось движения, на ось Ох

, (2.27)

, (2.28)

где параметр называют коэффициентом затухания.

Уравнение (2.27) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Егорешением является функция (уравнение затухающих колебаний в интегральной форме)

, (2.29)

Из этого уравнения следует, что амплитуда колебаний убывает со временем по экспоненциальному закону

, , (2.30)

а циклическая частота затухающих колебаний определяется формулой

, (2.31)

из которой следует, что .

Графики зависимости от времени t амплитуды колебаний и смещения приведены на рис.2.10.

Рис. 2.10

Так как амплитуда колебаний пропорциональна их механической энергии, то можно сказать, что и энергия колебаний убывает также по экспоненциальному закону

. (2.32)

В заключение этого параграфа отметим, что из-за уменьшения с течением времени амплитуды колебаний затухающие колебания не являются периодическими. Но при малом затухании под периодом (его также называют условным периодом) можно понимать минимальное время, за которое повторяются минимальные или максимальные значения величин, описывающих колебательное движение

(рис.2.10). Аналогично циклическую частоту затухающих колебаний называют условной циклической частотой [3].

2.3.2. Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний

Рассмотрим кратко величины, вводимые для описания затухающих колебаний.

1. Критический коэффициент сопротивления среды - это такой коэффициент, при котором в системе происходит апериодическое движение. При этом изменение смещения груза к положению равновесия происходит в отсутствие колебательного движения (кривая 1 или 2 на рис.2.11).

Убывание смещения тела в механической системе по кривым 1 или 2, либо по кривой, расположенной между ними, зависит от начальных условий. Например, если поместить физический маятник в жидкую вязкую среду, и отклонив его от положения равновесия, отпустить без начальной скорости, то тогда смещение маятника будет изменяться по кривой 1 (рис.2.11). Если же отпустить маятник с начальной скоростью, направленной к положению равновесия, то тогда его смещение может со временем изменяться по кривой 2 (рис.2.11), т.е. он пройдет один раз положение равновесия, затем отклонится, и после этого [3] будет монотонно приближаться к положению равновесия.

Выведем формулу для критического коэффициента сопротивления среды . При увеличении коэффициента угловая частота затухающих колебаний будет уменьшаться, а период колебаний Т_З будет возрастать и при равенстве = можно получить:

: , ;

(2.33)

Для в среде наблюдается апериодическое движение тела, а при в среде происходят затухающие колебания. Числовые значения определяются массой тела, совершающего колебания, и жесткостью системы, которая совершает колебания (см. формулу (2.33)).

Рис.2.11

2. Время релаксации τ - это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в eраз (e- основание натурального логарифма)

,

. (2.34)

За время релаксации в системе совершается полных колебаний

. (2.35)

3. Логарифмический декремент затухания δ равен натуральному логарифму отношения двух амплитуд, взятых через период

. (2.36)

4. Добротность Q системы можно ввести [3] как величину, определяющую потери энергии колебаний системы за один условный период колебаний,

(2.37)

Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и поэтому выражение (2.36) можно записать в следующем виде:

. (2.38)

Из формулы (2.38) следует, что чем выше добротность Q системы, тем медленнее в ней затухают колебания [3].

Для применяемых на практике систем Q100, т.е. для них выполняются условия малого затухания:

.

Тогда из формулы (2.38) получим ( )

(2.39)

2.4. Вынужденные механические колебания

2.4.1. Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение

Вынужденные механические колебания происходят, когда на систему, кроме упругой (квазиупругой) силы и силы сопротивления, действует внешняя, периодически изменяющаяся сила. Внешняя сила пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. Поэтому в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой. Таким образом, вынужденные колебания являются незатухающими.

Пусть внешняя сила изменяется с частотой по гармоническому закону: . Тогда в проекции на направление движения (ось ) II закон Ньютона имеет вид

, (2.40)

Учитывая, что , , и , получим

(2.41)

– это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.42) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

(2.43)

Рис. 2.12

С течением времени первое слагаемое в этом выражении быстро уменьшается, поэтому установившиеся вынужденные колебания описываются вторым слагаемым. График зависимости x(t) в этом случае изображен на рис. 2.12. Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы , амплитуда и начальная фаза определяются соотношениями:

(2.44)

. (2.45)

В данном случае начальная фаза определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.

2.4.2. Механический резонанс

Механический резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте .

Найдем резонансную частоту вынужденных колебаний.

1) В случае, если (сопротивление среды отсутствует), из формулы (2.44) имеем , откуда видно, что при ,

2) Если , то резонансную частоту находим как частоту, при которой знаменатель выражения для амплитуды вынужденных колебаний (2.44) имеет минимум (при этом сама амплитуда достигает максимального значения):

,

откуда получаем выражение для резонансной частоты

. (2.45)

Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Для построения резонансной кривой проанализируем зависимость (2.44) амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы :