Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

Поскольку в идеальном колебательном контуре потери энергии на джоулево тепло отсутствуют, полная энергия контура остается постоянной:

, (2.62)

а ее производная по времени равна нулю: ;

. (2.63)

Учитывая, что сила тока – это первая производная от заряда по времени, т.е , а и вводя обозначение , уравнение (2.63) преобразуем к виду

. (2.64)

Это дифференциальное уравнение описывает зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени. Решениями уравнения (2.64) является гармоническая функция

, (2.65)

где – циклическая частота незатухающих колебаний; – начальная фаза; – максимальное (амплитудное) значение заряда на обкладках конденсатора.

Период свободных электромагнитных колебаний

. (2.66)

Зависимость от времени силы тока в контуре:

, (2.67)

где – амплитудное значение силы тока в контуре.

Зависимость от времени разности потенциалов на обкладках конденсатора:

, (2.68)

где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

Графики зависимостей (2.65), (2.67), (2.68) при представлены на рис. 2.2.

Рис. 2.19

Энергия электрического поля изменяется с течением времени по закону

. (2.69)

Зависимость от времени энергии магнитного поля:

. (2.70)

На рис. 2.20 приведены графики, выражающие зависимости (при ) энергии электрического и магнитного поля в колебательном контуре, а также полной энергии контура от времени.

Рис. 2.20

2.7. Затухающие электромагнитные колебания

2.7.1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

Затухающие электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, который, кроме катушки индуктивностью и конденсатора емкостью , обладает активным сопротивлением (рис.2.21). При протекании тока через сопротивление выделяется мощность, которую можно найти по закону Джоуля-Ленца: .

Рис. 2.21

Вследствие этого полная энергия контура уменьшается с течением времени:

. (2.71)

; (2.72)

Учитывая, что , а ; и, вводя обозначение

, (2.73)

получим

(2.74)

– это дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний. Решение этого уравнения описывает изменение заряда на обкладках конденсатора с течением времени:

, (2.75)

где амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора убывает со временем по экспоненциальному закону:

---

, (2.76)

где β – коэффициент затухания – характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний; частота затухающих колебаний связана с частотой незатухающих колебаний соотношением

(2.77)

График зависимости заряда от времени изображен на рис 2.5.

Рис. 2.22

Зависимость полной энергии колебательного контура от времени имеет вид:

. (2.78)

График зависимости полной энергии колебательного контура от времени имеет такой же вид, как и график зависимости (рис.2.23) полной механической энергии от времени для системы, совершающей затухающие колебания.

2.7.2. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний

Частота затухающих колебаний связана с частотой собственных колебаний и коэффициентом затухания, а также с параметрами контура соотношениями:

. (2.79)

Период затухающих колебаний:

. (2.80)

Логарифмический декремент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний за один период и численно равен:

, (2.81)

где , – амплитуды заряда на обкладках конденсатора, соответствующие моментам времени, отличающимся на период.

Время релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз:

. (2.82)

В колебательном контуре, обладающем , и , возможны следующие режимы работы:

1) при малом затухании ( ) происходит периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора . Этот режим называется периодическим (рис. 2.22);

2) при сильном затухании ( ) колебаний заряда не происходит (рис. 2.23), величина – мнимая. Этот режим называется апериодическим.

Рис. 2.23

3) если , то частота затухающих колебаний . Этот режим работы называется критическим. Сопротивление контура , при котором наблюдается этот режим, также называется критическим

(2.83)

Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени в критическом режиме изображена на рис. 2.24.

Рис. 2.24

---

2.8. Электромагнитные волны

2.8.1.Основные свойства электромагнитных волн. Волновое уравнение

Электромагнитной волной (ЭМВ) называется процесс распространения в пространстве с конечной скоростью переменного электрического поля и неразрывно связанного с ним переменного магнитного поля [4].

Существование ЭМВ вытекает из теории Максвелла, в основе которой лежат два постулата: 1) переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле (явление электромагнитной индукции); 2) переменное электрическое поле, в свою очередь, порождает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле.

За счет непрерывного взаимопревращения электромагнитное возмущение распространяется в пространстве. Этот процесс имеет волновой характер.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и установила их основные свойства.

1. В электромагнитной волне (ЭМВ) вектора напряженности электрического поля и магнитной индукции совершают колебания в одинаковой фазе:

, . (2.84)

Рис. 2.25

В ЭМВ колебания векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции происходят в плоскости, перпендикулярной скорости распространения волны: , . Поэтому ЭМВ – поперечная волна. Кроме того, вектора и взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов с вектором . Все сказанное можно видеть на рис. 2.25, который является "мгновенной фотографией ЭМВ" [4].

Уравнения (2.84) являются решениями волновых уравнений ЭМВ:

(2.85)

При записи уравнений (2.85) использовано обозначение оператора Лапласа:

. (2.86)

2. Электромагнитные волны могут распространяться и в веществе, и в вакууме. Скорость распространения ЭМВ зависит от электрических и магнитных свойств вещества [4].

Максимальна скорость распространения ЭМВ в вакууме – c, она равна скорости света в вакууме и связана с электрической (₀) и магнитной (₀) постоянными следующим соотношением:

. (2.87)

В веществе скорость ЭМВ меньше, чем в вакууме:

, (2.88)

где – абсолютный показатель преломления данного вещества, зависящий от относительной диэлектрической  и относительной магнитной проницаемости  вещества. Таким образом, скорость ЭМВ в веществе равна

---

. (2.89)

3. Электромагнитные волны материальны. Распространяясь в пространстве, они обладают массой, импульсом, производят давление на поверхность, на которую они падают [4].

4. Объемные плотности энергии электрического и магнитного полей ЭМВ одинаковы в любой момент времени:

, (2.90)

где ; .

2.8.2. Объемная плотность энергии ЭМВ. Поток энергии. Вектор Умова – Пойтинга

Объемную плотность энергии ЭМВ w можно найти как сумму объемной плотности энергии электрического поля и объемной плотности энергии магнитного поля :

(2.91)

Учитывая равенство (2.90) для объемных плотностей энергии, можно показать, что

, (2.92)

тогда (2.91) можно переписать в виде

. (2.93)

Перенос энергии электромагнитной волной характеризуется двумя величинами – потоком энергии и плотностью потока энергии.

Поток энергии  численно равен энергии, переносимой электромагнитной волной через некоторую поверхность s в единицу времени (рис. 2.26)

. (2.94)

Рис. 2.26

Плотность потока энергии – это векторная величина, численно равная энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени [4].

, . (2.95)

Вектор плотности потока энергии называют еще вектором Пойнтинга, или вектором Умова-Пойнтинга. Вектор Умова-Пойнтинга можно представить и в таком виде:

. (2.96)

2.8.3. Поведение ЭМВ на границе раздела двух сред

На границе раздела двух сред с различными абсолютными показателями преломления n₁ и n₂ происходит отражение и преломление электромагнитной волны. При этом выполняются следующие законы [4]:

- падающий, отраженный и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости;

- угол отражения  равен углу падения  (рис. 2.27);

Рис. 2.27

- отношение синуса угла падения  к синусу угла преломления  (рис.2.27) равно отношению абсолютного показателя преломления второй среды n₂ к абсолютному показателю преломления первой среды n₁:

, (2.97)

где n₂₁

---

– относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Отметим, что при переходе ЭМВ из одной среды в другую изменяются ее длина λ волны и скорость , а период Т волны и ее частота (ν) не изменяются

, , . (2.98)

где абсолютный показатель преломления среды n зависит от ε и μ, так как для многих сред μ = 1, остается зависимость только от ε.

При отражении плоской ЭМВ от оптически более плотной среды ( ) происходит изменение фазы колебаний вектора на (вектора и направлены в противоположные стороны, рис. 5.4,а). При этом изменение фазы вектора не происходит (вектора и направлены в противоположные стороны, рис. 2.28,а). При отражении от оптически менее плотной среды ( ) изменение фазы колебаний вектора не происходит, а фаза вектора изменяется на (рис. 2.28,б) [3].

Рис. 2.28

Это означает, что при отражении падающей на границу раздела двух сред плоской электромагнитной волны тройка векторов , и поворачивается на угол 180⁰ либо вокруг вектора ( , рис. 2.28,а), либо вокруг вектора ( , рис. 2.28,б).

---