Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

. (4.13)

Она была получена из условия совпадения во всем интервале длин волн расчетной и экспериментальной испускательной способности а.ч.т.

Входящая в формулу (4.13) величина получила название постоянной Планка, она равна .

Для определения средней энергии осциллятора Планк использовал распределение Больцмана

, ,

где в записанной формуле величина дает число осцилляторов на данном энергетическом уровне с номеромn.

Тогда для средней энергии гармонического осциллятора можно записать формулу

. (4.14)

В итоге Планком была записана следующая формула для испускательной способности а.ч.т.:

. (4.15)

Полученное выражение для полностью описывает зависимость спектральной плотности энергетической светимости а.ч.т. от длины волны во всем интервале длин волн. Из него также вытекают законы Стефана-Больцмана и Вина [4].

В области длинноволнового излучения, когда можно пренебречь квантованием энергии (дискретностью энергии) осциллятора (атома), по сравнению с энергией теплового движения атомов формула (4.15) приводит к формуле Релея-Джинса (4.11)

.

Формула (4.15) позволяет получить точные выражения для постоянной  Стефана-Больцмана и постоянной Вина, входящих в опытные законы теплового излучения,

, .

С помощью формулы (4.15) оказалось возможным установить формулу зависимости максимального значения спектральной плотности энергетической светимости а.ч.т. от его абсолютной температуры,

, (4.16)

где постоянная равна

. (4.17)

Забегая вперед, можно сказать, что предположение Планка об излучении атомами квантов энергии свидетельствует о дискретном характере энергетических уровней атома. Тепловое движение переводит осцилляторы на выше расположенные уровни энергии, затем при переходе на нижние уровни и происходит излучение квантов энергии.

Учитывая такой механизм излучения квантов энергии за счет энергии теплового движения, можно достаточно легко ответить на вопрос почему спектральная плотность энергетической светимости в области рентгеновских лучей уменьшается до нуля? Ответ вытекает из различия в энергиях квантов электромагнитного излучения в разных диапазонах волн. Действительно, для того чтобы испустить квант энергии рентгеновского диапазона излучения, необходимо возбудить осциллятор (атом), т.е. перевести его хотя бы на первый возбужденный уровень энергии с номером n, равным единице. Это практически невозможно осуществить за счет энергии теплового движения атомов вследствие большого различия энергии кванта рентгеновского излучения и средней энергии теплового движения атомов: .

---

Так, для температуры средняя энергия теплового движения составляет , а первый возбужденный уровень энергии для рентгеновского излучения длины волны отстоит от основного уровня энергии на расстояние по энергии, равное

,

что превышает энергию теплового движения примерно в раз. Поэтому такие кванты энергии в области рентгеновского излучения излучаются достаточно редко, что и приводит к уменьшению в этой области длин волн практически до нуля.

Для диапазона инфракрасного излучения ( ) при комнатной температуре отношение равно (640,1), что приводит к большей интенсивности излучения для этих длин волн.

---

4.2. Внешний фотоэффект

Внешним фотоэффектом называют явление выбивания электронов из металла под действием падающего излучения.

Объяснение опытных законов фотоэффекта приводит к выводу о том, что электромагнитное излучение не только испускается атомами в виде отдельных порций энергии, но также распространяется и поглощается отдельными порциями энергии, называемыми фотонами. Рассмотрим, как этот вывод был сделан.

4.2.1. Вольт-амперная характеристика, ее основные закономерности.

Основные законы фотоэффекта были изучены на установке, схема которой приведена на рис. 4.4, а.

Внутри вакуумной трубки (баллона) находятся два электрода – анод и катод, между которыми прикладывается напряжение . На катод через кварцевое окно падает монохроматическое электромагнитное излучение, оно выбивает из металла электроны, они летят на анод, цепь замыкается, в цепи возникает электрический ток. Напряжение между анодом и катодом измеряется вольтметром, а сила тока – амперметром.

На этой установке снимаются вольт-амперные характеристики при разных условиях проведения опытов – разные интенсивности и частоты падающего света, различные металлы, из которых изготовляется катод. Для примера одна из вольт-амперных характеристик приведена на рис. 4.4,в. Обсудим ее основные особенности.

Рис. 4.4

1). . При напряжении , равном нулю, электрический ток в цепи отличен от нуля (рис. 4.4,б). Электроны, вылетающие с поверхности катода под действием падающего электромагнитного излучения, притягиваются к положительно заряженному металлу и возвращаются снова на металл. Вблизи металла образуется электронное облако, которое образовано электронами, покидающими и возвращающимися на катод. Однако существуют электроны, скорость которых при выходе из металла будет наибольшей. Они способны преодолевать двойной электрический барьер (металл притягивает вылетающий электрон, а электронное облако его отталкивает) вблизи поверхности металла и достигать анода.

2). Напряжение на трубке больше нуля (катод подключается к минусовому зажиму источника напряжения, ). В этом случае в трубке появляется электрическое поле и, как следствие, - “электрический ветер”, который сносит электроны на анод. Число электронов, достигающих анода, возрастает, электронное облако становится меньше и при больших напряжениях полностью исчезает. Электрический ток достигает насыщения , так как все электроны, выбиваемые с поверхности катода, достигают анода.

3). Напряжение на трубке меньше нуля ( ). Электрическое поле, возникающее при этом в трубке, тормозит электроны. Появляется “электрический ветер”, который препятствует движению электронов к аноду. Сила электрического тока падает и при напряжении, называемом задерживающим напряжением , обращается в ноль. При этом даже самые быстрые электроны не достигают анода, т.е. кулоновская сила электрического поля совершает работу по уменьшению скорости таких электронов до нуля. Согласно теореме о кинетической энергии можно записать следующее равенство:

.

4.2.2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Согласно Планку электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии, квантов. Эйнштейн предположил, что электромагнитное излучение не только испускается, но также распространяется и поглощается в виде отдельных порций энергии, которые получили название фотонов. Следовательно, электромагнитное излучение представляет собой поток особых частиц, называемых фотонами, они обладают корпускулярно волновым дуализмом, сочетают в себе свойства и частицы и волны. Для расчета энергии фотона используют следующие формулы:

, (4.18)

в которые входит постоянная Планка , масса и импульс фотона, длина волны и частота электромагнитного излучения.

Согласно Эйнштейну электрон поглощает фотон. Энергия фотона позволяет электрону выйти из металла (это требует энергии ) с кинетической энергией . На основе закона сохранения энергии для такого процесса можно записать

Энергия выхода электрона из металла изменяется в зависимости от расстояния, на котором находится электрон внутри металла до его поверхности. Для электронов, вылетающих с поверхности металла, энергия выхода будет минимальной (она для каждого металла имеет определенное значение и называется работой выхода ), а их кинетическая энергия будет соответственно максимально возможной. В этом случае уравнение примет вид:

. (4.19)

Полученное уравнение получило название уравнения Эйнштейна для фотоэффекта.

4.2.3. Опытные законы фотоэффекта, их объяснение.

Приведем формулировку экспериментальных законов фотоэффекта, открытых Столетовым в 1886-1889 гг., и их объяснение с точки зрения волновой и корпускулярной теории.

1 закон. Сила фототока насыщения прямо пропорциональна падающему на катод потоку электромагнитного излучения при фиксированном его спектральном составе ( ). В соответствии с формулой (4.18) для потока падающего на металл излучения и для силы фототока насыщения можно записать

, ,

где и - число падающих на катод фотонов и число электронов, вылетающих из него за время . Известно, что лишь малая часть фотонов выбивает электроны, большая часть фотонов поглощается металлом, идет на его нагревание. Можно записать формулу связи между числом падающих фотонов и числом вылетающих электронов

,

где входящая в это выражение постоянная существенно меньше единицы.

Учитывая это соотношение, можно получить следующую формулу связи:

, (4.20)

что подтверждает первый закон фотоэффекта. Действительно, при постоянной частоте падающего излучения ( ) из формулы (4.20) следует, что .

Волновая теория также объясняет первый закон, так как энергия падающей волны определяется ее амплитудой и частотой. Увеличение потока падающего монохроматического излучения связано с увеличением его амплитуды, что и приводит к выбиванию большего числа электронов из металла, т.е. к большей силе тока насыщения.

2 закон. Максимальная кинетическая энергия вылетающих с поверхности катода электронов зависит линейно от частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности.

Для объяснения второго закона запишем уравнение Эйнштейна в следующем виде:

(4.21)

Из этого уравнения следует, что максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов будет пропорциональна частоте падающего излучения ( ), так как для каждого металла работа выхода является постоянной величиной.

---

При обычных интенсивностях падающего излучения один электрон поглощает один фотон, вероятность многофотонных процессов практически равна нулю, поэтому не зависит от интенсивности падающего излучения, т.е. от числа фотонов, падающих на металл в единицу времени.

Волновая теория объясняет второй закон фотоэффекта лишь частично. Увеличивая частоту волны, можно увеличить энергию вылетающего электрона, что объясняет пропорциональность максимальной кинетической энергии вылетающего электрона частоте падающего излучения. Но волновая теория не может объяснить, почему увеличение амплитуды волны, т.е. интенсивности волны, не приводит к увеличению электрона.

3 закон. Существует красная граница фотоэффекта – такая минимальная частота падающего излучения, ниже которой фотоэффект не наблюдается [4].

Для частот фотоэффект наблюдается, а для частот фотоэффект отсутствует. Под красной границей фотоэффекта также понимают длину волны . В этом случае фотоэффект будет наблюдаться, если длина волны падающего на металл излучения будет меньше ил равна красной границе фотоэффекта : .

Для объяснения третьего закона фотоэффекта рассмотрим уравнение (4.21). При уменьшении частоты падающего излучения левая часть уравнения (4.21) уменьшается, следовательно, будет уменьшаться и максимальная кинетическая энергия вылетающих из металла электронов (для каждого металла ). При частоте излучения, равной красной границе фотоэффекта ( ), энергии фотона хватает только на выход электрона из металла: , . Если частота излучения будет меньше , то тогда энергии фотона не хватит на вылет электрона из металла и фотоэффекта не будет.

Таким образом, красная граница фотоэффекта для данного металла определяется формулой

, . (4.22)

Волновая теория этот закон объяснить не может. Это связано с тем, что согласно волновой теории при малой частоте волны можно так увеличить ее амплитуду, что энергии волны будет достаточно для наблюдения фотоэффекта и при значениях , меньших ( ).

Отметим, что фотоэффект является безынерционным явлением. Если послать излучение на металл, то практически мгновенно из металла будут вылетать электроны, никакой задержки в их вылете не будет. Согласно Эйнштейну процесс поглощения фотона электроном будет происходить мгновенно и сразу же будет наблюдаться выход электронов из металла.

---

В волновой теории этот факт не объясняется, так как на раскачку электрона (он будет совершать вынужденные колебания) падающей волной до энергии, необходимой для выхода из металла, требуется время.

Подводя итог обсуждению опытных законов фотоэффекта, можно сделать вывод о том, что они находят свое полное объяснении в рамках корпускулярной теории электромагнитного излучения и оставляют много вопросов без ответа в рамках волновой теории.

4.2.4. Зависимость задерживающего напряжения от частоты. Многофотонный фотоэффект.

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта (4.19) в следующем виде:

.

Г
рафик этой зависимости приведен на рис. 4.5.

Рис.4.5

По графику можно найти постоянную Планка h ( ) и красную границу для данного металла (по точке пересечения графика с осью частот: ).

При падении на катод электромагнитного излучения большой интенсивности от лазеров возможно протекание многофотонных процессов, при которых один электрон при выходе из металла поглощает несколько фотонов ( и т.д.). Это приводит к другой форме записи уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

(4.23)

Это приводит к нарушению (видоизменению) третьего закона для фотоэффекта. Согласно уравнению (4.23) фотоэффект возможен и для частот, меньших красной границы фотоэффекта (4.22). Она будет смещаться в сторону меньших частот: . Также нарушается (видоизменяется) и первый закон для фотоэффекта.

---