Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

, ; , ;

Амплитуда колебаний при резонансе равна:

. (2.46)

Рис. 2.13

На рис.2.13 представлены резонансные кривые для различных значений коэффициента затухания . Высота и ширина резонансного пика, зависят от коэффициента затухания .

2.4.3. Некоторые примеры проявления резонанса в природе и технике

При резонансе энергия поступает в систему согласованно с колебаниями в ней, постоянно увеличивая их амплитуду. В стационарном режиме большая амплитуда колебаний поддерживается малыми поступлениями энергии в систему, восполняющими потери энергии колебаний (нагрев проводников, преодоление сил сопротивления, потери на излучение электромагнитных и механических волн) за один период. В системе при резонансе созданы наиболее благоприятные условия для реализации свойственных системе свободных незатухающих колебаний и поэтому амплитуда колебаний резко возрастает [3].

Рассмотрим некоторые примеры проявления резонанса в природе.

Пример 1. Вентилятор плохо прикреплен к потолку и при своем вращении он создает толчки на потолок, частота которых может совпасть с собственной частотой колебаний комнаты (потолка) как колебательной системы, амплитуда колебаний потолка нарастает и может привести к его обрушению [3].

Пример 2. Приборы на кораблях максимально утяжеляют (делают тяжелыми подставки) и подвешивают на мягких пружинах (коэффициент жесткости для них будет малым). В этом случае частота качки корабля будет больше собственной частоты колебаний ( ) приборов на пружинах и поэтому резонанса не наступает [3].

2.5. Волны в упругой среде

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. При распространении волны частицы среды волной не увлекаются (а лишь колеблются вблизи своих положений равновесия), но происходит перенос энергии от источника колебаний к точкам среды. Волны, переносящие в направлении своего распространения энергию колебательного движения, называются бегущими. Механические волны могут распространяться только в упругих средах. Под упругой средой понимают среду, между частицами которой действуют упругие силы. Смещение от положения равновесия какой-то одной частицы в упругой среде из-за наличия сил упругости приводит к смещению соседней с ней частицы и т.д., в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые частицы, говорят, что в среде распространяется упругая волна.

Различают поперечные и продольные механические волны.

В поперечной волне частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (рис. 2.14а). Такие волны могут распространяться в средах, в которых возможна деформация сдвига (т.е. в твердых телах и на поверхности жидкостей). Пример поперечной волны - волна на поверхности жидкости.

Рис. 2.14

В продольной волне частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны (рис 2.14б). Такие волны распространяются в средах, в которых возможна деформация сжатия и разряжения (т.е. и в твердых телах, и в газах, и в жидкостях). Пример продольной волны – звук.

2.5.1. Основные характеристики волн

Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, совершающих колебания в одинаковой фазе. В любой момент времени волновых поверхностей много и они неподвижны.

Фронт волны – геометрическое место точек среды, до которых дошло колебание в данный момент времени. В каждый момент времени волновой фронт один. В зависимости от формы волнового фронта волны бывают сферические, цилиндрические и плоские.

Фазовая скорость волны (скорость распространения волны в среде) - скорость перемещения в пространстве данной фазы колебаний.

Период Т волны – время, за которое любая точка среды совершает одно полное колебание.

Длина волны  – наименьшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в одинаковой фазе. Численно длина волны равна расстоянию, на которое перемещается фронт волны за время, равное периоду колебаний

, (2.47)

где  – частота, – циклическая частота колебаний частиц среды.

Волновой вектор – вектор, сонаправленный с направлением распространения волны.

Волновое число – модуль волнового вектора. Волновое число можно выразить через длину волны

. (2.48)

2.5.2. Уравнение плоской механической волны. Волновое уравнение

Уравнение волны определяет смещение от положения равновесия  точек среды, находящихся на расстоянии x от источника колебаний [3]. Запишем уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси

x. Пусть источник находится в начале координат (рис. 2.15) и совершает колебание по закону:

. (2.49)

В произвольной точке М, находящейся на расстоянии xот источника колебаний, благодаря упругой связи между частицами среды, спустя некоторое время возникнут колебания с той же частотой и той же амплитудой (если среда не поглощает энергию), что и в источнике.

Рис. 2.15

Но так как волне нужно время, чтобы пройти расстояние это расстояние x, то колебания точки М будут отставать по фазе от колебаний в источнике.

, (2.50)

где – время, необходимое для того, чтобы волна от источника дошла до точки М.

С учетом этого

. (2.51)

Уравнение (2.51) – это уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. Если волна распространяется в отрицательном направлении оси Ох, то

. (2.52)

С помощью уравнения волны (2.51) можно построить два различных графика:

1) «моментальная фотография» волны – зависимость смещения точек среды в данный момент времени от их координат (рис. 2.16 а);

2) «временная развертка» – зависимость смещения конкретной точки среды от времени (рис. 2.16 б).

Рис. 2.16

Уравнение (2.51) плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох является решением дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым:

. (2.53)

Решением уравнения (2.53) кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси (2.52), является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении против оси [3].

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором , волновое уравнение и уравнение волны запишутся, соответственно, следующим образом

, (2.54)

, (2.55)

В общем случае решение волнового уравнения (2.54) зависит от дополнительных условий, и в зависимости от них в качестве решения можно получить уравнение плоской, сферической или цилиндрической волны. Зная уравнение волны (2.51), можно найти скорость и ускорение частиц среды в любой момент времени:

(2.56)

(2.57)

2.5.3. Стоячие волны

Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Рассмотрим случай сложения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси О

х в положительном ( ) и отрицательном ( ) направлениях.

, . (2.58)

Уравнение стоячей волны (в соответствии с формулой сложения косинусов) можно записать в виде

. (2.59)

Видно, что частота колебаний стоячей волны равна , а амплитуда колебаний зависит от координаты x .

В точках среды, где , (m= 0,1,2,3…), амплитуда колебаний достигает максимального значения равного 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Учитывая, что , выразим координаты пучностей:

(m= 0,1,2,3…). (2.60)

В точках среды, где (m= 0,1,2,3...), амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:

, (m= 0,1,2,3….). (2.61)

Расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны .

В отличие от бегущей волны, точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, совершают колебания с противоположными фазами. Образование стоячих волн наблюдается, в частности, при наложении бегущей и отраженной волн. На границе, где происходит отражение волны, в зависимости от соотношения плотностей сред ₁ и ₂ может возникнуть узел или пучность. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды ₁<₂ фаза волны меняется на противоположную. Если же волна отражается от менее плотной среды ₁>₂, изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами, то образуется пучность. Стоячая волна не переносит энергию, поэтому полная энергия стоячей волны, заключенная между узлами, остается постоянной. На рисунке 2.17 изображено смещение от положения равновесия точек в стоячей волне в зависимости от координаты х при ₁>₂. На границе сред образовалась пучность, т.к. волна отражается от среды с меньшей плотностью ₂.

Рис. 2.17

2.6. Свободные незатухающие электромагнитные колебания.

2.6.1. Колебательный контур. Условия возникновения колебаний.

Электромагнитные колебания – это периодические изменения с течением времени электрических и магнитных величин: q – заряда, U – напряжения, I – силы тока; – напряженности электрического поля; – магнитной индукции; – энергии электрического поля; – энергии магнитного поля и т. д. Электромагнитные колебания происходят в электрическом колебательном контуре – электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор емкостью С и катушку с индуктивностью L.

Свободные незатухающие электромагнитные колебания можно получить в идеальном колебательном контуре, т.е. в контуре, активное сопротивление которого R = 0. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии колебаний на нагревание проводников.

Рис. 2.18

Рассмотрим подробнее электромагнитные колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре (рис. 2.18). Пусть в начальный момент времени (t = 0) конденсатору сообщают максимальный заряд q = q_m. При этом сила тока и энергия магнитного поля катушки равны нулю, а полная энергия колебаний [3] совпадает с максимальной энергией электрического поля конденсатора.

Так как обкладки конденсатора соединены с концами катушки индуктивности, то конденсатор начинает разряжаться. Разрядный ток в контуре возрастает постепенно из-за возникновения в катушке э.д.с. самоиндукции. В момент времениt = T/4конденсатор полностью разряжается (q = 0), а сила тока достигает максимального значения (I = I_m). При этом первоначальная энергия электрического поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки.

В течение второй четверти периода конденсатор постепенно заряжается. В момент времени t = T/2конденсатор полностью перезаряжается (знаки зарядов его обкладок меняются на противоположные по сравнению с первоначальным состоянием). Ток в контуре в этот момент времени снова равен нулю.

В течение третьей и четвертой четверти периода процессы повторяются, но в обратном направлении.