Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 278
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1.1. Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции
1.2. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Природа сторонних сил. Правило Ленца.
2.1. Незатухающие механические колебания
2.2. Сложение гармонических колебаний
2.4. Вынужденные механические колебания
2.6. Свободные незатухающие электромагнитные колебания.
2.7. Затухающие электромагнитные колебания
4.4. Природа электромагнитного излучения. Корпускулярно-волновой дуализм
5. Элементы квантовой механики
5.1. Идея де Бройля. Опыты, подтверждающие волновые свойства микрочастиц
5.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
5.3. Волновая функция. Стандартные условия. Уравнение Шредингера.
t (рис. 5.5, б).
Впервые основное уравнение квантовой механики – уравнение для волновой функции было записано в 1926 г. Э. Шредингером и получило название уравнения Шредингера.
Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени t. Они называются стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не зависит от времени ( ), а полная энергия частицы остается постоянной ( ) [4]. Волновую функцию для частицы в этом случае можно представить в виде произведения временной ее части на координатную часть
. (5.10)
Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) примет вид
. (5.11)
В этом уравнении - постоянная Планка, деленная на ; m – масса частицы; - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется; – оператор Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам.
Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными [4]. Его роль в квантовой механике такая же, как - уравнения Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла в электродинамике или трех начал в термодинамике.
Решая уравнение Шредингера, можно найти энергетический спектр частицы и вероятность ее обнаружения в различных точках пространства. Эти сведения используются для анализа поведения частицы в потенциальном поле определенного вида. Более детальной информации квантовая механика о поведении частиц не дает.
Это не является недостатком теории, а является следствием вероятностного поведения частицы в пространстве. Нельзя думать, что будет создана теория, которая будет давать более детальную информацию о поведении частиц. Поведение частиц вне экспериментальной ситуации, т.е. самих по себе, нам не доступно, так как мы живем в макромире и используем понятия макромира. О наличии микромира мы узнаем из поведения частиц в экспериментальной ситуации, и это нужно помнить и не стараться брать из теории то, что она не может дать.
Рассмотрим решение ряда задач квантовой механики, имеющих точное решение. Таких задач существует немного, и они играют важную роль при анализе экспериментальных данных.
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы много меньше, чем в соседних областях.
Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частицы во внешнем силовом поле, в котором потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями:
(5.12)
Вид потенциального поля приведен на рис. 5.6,а. Из него видно, что частица находится в потенциальной яме ( ) с бесконечно высокими прямоугольными стенками, за пределы которой она выйти не может.
Рис. 5.6
Решение уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера необходимо решать в области , в которой
.
Решением этого уравнения является сумма двух плоских монохроматических волн де Бройля (бегущей и отраженной)
.
Стандартные условия в этой задаче записываются следующим образом:
В формулу для волновой функции входит номер квантового состояния , причем значение исключается, так как для значения вероятность найти частицу внутри потенциальной ямы и вне ее будет равна нулю, т.е. частица не существует, а это противоречит условию задачи.
Условие нормировки позволяет найти постоянную
.
В итоге для собственных волновых функций можно записать
(5.13)
Для собственных значений энергии частицы получим:
,
(5.14)
Анализ полученного решения. В классической механике энергетический спектр частицы является непрерывным, минимальное значение энергии равно нулю, т.е. частица может «находиться» на дне потенциальной ямы.
В квантовой механике из формулы (5.14) следует, что энергетический спектр частицы является дискретным и расходящимся, минимальное значение энергии отлично от нуля и равно (рис. 5.6,а)
, . (5.15)
Состояние частицы при квантовом числе , равном единице ( ), называется основным состоянием частицы, а все остальные ее состояния называются возбужденными.
Как видно, выводы классической и квантовой механики при малых значениях квантового числа находятся в резком несоответствии между собой.
Можно показать, что отличие минимального значения энергии частицы от нуля является следствием ее волновых свойств. Действительно, неопределенность координаты частицы в потенциальной яме равна ее ширине , что позволяет из соотношения неопределенностей Гейзенберга провести оценку неопределенности задания импульса частицы . Понятие импульса можно использовать в тех случаях, когда значение импульса будет не меньше погрешности его определения: . Тогда минимальное значение импульса частицы будет равно , что приводит к оценке минимального значения энергии частицы внутри потенциальной ямы
. (5.16)
Полученное из соотношения неопределенностей значение по порядку величины соответствует значению энергии частицы в основном квантовом состоянии ( ), рассчитанному по формуле (5.14).
Обсудим теперь вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы.
В классической механике частица движется равномерно по траектории от одной стенки до другой, и поэтому классическая плотность вероятности обнаружения частицы будет одинаковой во всех точках потенциальной ямы, так как частица одинаковое время находится вблизи любой точки.
Запишем формулу для квантовой плотности вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы
. (5.17)
Из формулы (5.17) следует, что квантовая плотность вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы зависит от координаты и от номера квантового состояния , что не согласуется с движением частицы по траектории. Так, например, для квантового состояния с плотность вероятности на краях потенциальной ямы равна нулю, а в ее середине будет максимальной. Число пиков на зависимости будет равно номеру квантового состояния , а вся площадь под графиками плотности вероятности будет одинаковой и равной единице (рис. 5.6,б).
Вероятность обнаружения частицы в квантовом состоянии внутри потенциальной ямы в области пространства равна площади под графиком соответствующей плотности вероятности и ограниченной по оси абсцисс значениями l1 и l2, а также может быть вычислена по формуле
(5.18)
Итак, движение частицы внутри потенциальной ямы при небольших значениях необходимо описывать в рамках квантовой механики. Однако, при больших значениях квантового числаn возможно применение классической механики при описании движения микрочастицы. Это связано с тем, что при увеличенииn возрастает модуль волнового вектора ( ), следовательно, уменьшается длина волны де Бройля ( ), соответствующая движению частицы, и при некотором значении n будет выполняться условие применимости классической механики для описания движения микрочастицы: << .
Причем для больших nпроисходит относительное сближение энергетических уровней, энергетический спектр становится квазинепрерывным, т.е. дискретным, но дискретностью можно пренебречь по сравнению со значениями энергии квантовых состояний
, .
Большое число максимумов и минимумов на графике зависимости плотности вероятности от координаты (при большом
n) приводит к тому, что усредненное значение < > квантовой плотности вероятности будет совпадать с классическим значением плотности вероятности.
Рассмотренный пример - это пример соответствия выводов квантовой и классической теории при больших значениях квантовых чисел, является частным случаем принципа соответствия, который гласит: при больших значениях квантовых чисел выводы квантовой механики должны соответствовать выводам классической механики.
Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в соседних областях.
Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частиц с энергией W вдоль оси . Частицы из области 1 налетают на прямоугольный потенциальный барьер (область 2) высотой , причем W< (см. рис. 5.7,а). Необходимо ответить на вопрос: что происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером?
В классической механике все частицы для которых W< , отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновения частиц в области 2 и 3 (область за барьером) нет.
Решение уравнения Шредингера. В квантовой механике чтобы описать движение микрочастиц, при их встрече с потенциальным барьером, необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях (см. рис. 5.7,а) Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей и сразу приведем их решения.
Область 1: ,
.
Область 2: , ,
.
Область 3: ,
, .
Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что оно не носит волнового характера (в показатель экспоненты не входит мнимая единица), т.е. решение нельзя представить в виде гармонической функции синуса или косинуса. Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства. В третьей области пространства отражения нет, поэтому отраженной волны в третьей области не будет.
Рис. 5.7
Полученные в ходе решения уравнения Шредингера для трех областей волновые функции, необходимо «сшить» на границе этих областей, т.е. наложить на волновые функции стандартные условия.
На рис. 5.7,б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты с учетом стандартных условий (условий сшивания), накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из рис. 5.7,б видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера (вторая область) уменьшается с ростом координаты и что вероятность найти микрочастицу в области 3 (область за барьером) будет отлична от нуля.
Анализ полученного решения. При встрече микрочастиц с потенциальным барьером возникает туннельный эффект – явление проникновения частиц сквозь высокий (W< U0) потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера – величина, определяющая вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равен отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Это отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (см. рис. 5.7)
. (5.19)
Как видно из уравнения (5.19), вероятность прохождения частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер зависит от массы частицы ( ), ширины потенциального барьера ( ) и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на барьер частицы ( ).
В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 5.7,в) для коэффициента прозрачности можно получить следующую формулу:
. (5.20)
При выводе формулы (5.20) область потенциального барьера ≤ r ≤ , в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии (см. рис. 5.7,в), разбивается на совокупность прямоугольных потенциальных барьеров. Для каждого из них находится коэффициент прозрачности (i – номер прямоугольного барьера), затем, для определения коэффициента прозрачности всего барьера, коэффициенты перемножаются. Для увеличения точности расчетов ширина прямоугольных потенциальных барьеров стремится к нулю, а их числоi стремится к бесконечности ( ).
Туннельный эффект объясняет многие наблюдаемые на опыте явления, такие например, как – распад ядер, холодную эмиссию электронов из металла и т.д.
Возникает вопрос: почему классическая частица не может проникать внутрь барьера, а микрочастицы имеют такую возможность? Можно привести следующее объяснение. В классической механике в произвольный момент времени точно известны координата и импульс частицы. Это позволяет точно выделить вклады в полную энергию частицы от ее потенциальной и кинетической энергии - . Поэтому в области потенциального барьера, где полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, кинетическая энергия частицы будет меньше нуля ( ). Это невозможно согласно определению кинетической энергии.
В квантовой механике, в соответствии с соотношениями неопределенности Гейзенберга, нельзя одновременно точно задать координаты частицы и ее импульс. Поэтому точное деление полной энергии частицы на ее кинетическую и потенциальную энергии невозможно. Это позволяет частице проникать внутрь потенциального барьера на короткое время.
Впервые основное уравнение квантовой механики – уравнение для волновой функции было записано в 1926 г. Э. Шредингером и получило название уравнения Шредингера.
Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени t. Они называются стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не зависит от времени ( ), а полная энергия частицы остается постоянной ( ) [4]. Волновую функцию для частицы в этом случае можно представить в виде произведения временной ее части на координатную часть
. (5.10)
Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) примет вид
. (5.11)
В этом уравнении - постоянная Планка, деленная на ; m – масса частицы; - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется; – оператор Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам.
Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными [4]. Его роль в квантовой механике такая же, как - уравнения Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла в электродинамике или трех начал в термодинамике.
Решая уравнение Шредингера, можно найти энергетический спектр частицы и вероятность ее обнаружения в различных точках пространства. Эти сведения используются для анализа поведения частицы в потенциальном поле определенного вида. Более детальной информации квантовая механика о поведении частиц не дает.
Это не является недостатком теории, а является следствием вероятностного поведения частицы в пространстве. Нельзя думать, что будет создана теория, которая будет давать более детальную информацию о поведении частиц. Поведение частиц вне экспериментальной ситуации, т.е. самих по себе, нам не доступно, так как мы живем в макромире и используем понятия макромира. О наличии микромира мы узнаем из поведения частиц в экспериментальной ситуации, и это нужно помнить и не стараться брать из теории то, что она не может дать.
Рассмотрим решение ряда задач квантовой механики, имеющих точное решение. Таких задач существует немного, и они играют важную роль при анализе экспериментальных данных.
5.3.1. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы много меньше, чем в соседних областях.
Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частицы во внешнем силовом поле, в котором потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями:
(5.12)
Вид потенциального поля приведен на рис. 5.6,а. Из него видно, что частица находится в потенциальной яме ( ) с бесконечно высокими прямоугольными стенками, за пределы которой она выйти не может.
Рис. 5.6
Решение уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера необходимо решать в области , в которой
.
Решением этого уравнения является сумма двух плоских монохроматических волн де Бройля (бегущей и отраженной)
.
Стандартные условия в этой задаче записываются следующим образом:
В формулу для волновой функции входит номер квантового состояния , причем значение исключается, так как для значения вероятность найти частицу внутри потенциальной ямы и вне ее будет равна нулю, т.е. частица не существует, а это противоречит условию задачи.
Условие нормировки позволяет найти постоянную
.
В итоге для собственных волновых функций можно записать
(5.13)
Для собственных значений энергии частицы получим:
,
(5.14)
Анализ полученного решения. В классической механике энергетический спектр частицы является непрерывным, минимальное значение энергии равно нулю, т.е. частица может «находиться» на дне потенциальной ямы.
В квантовой механике из формулы (5.14) следует, что энергетический спектр частицы является дискретным и расходящимся, минимальное значение энергии отлично от нуля и равно (рис. 5.6,а)
, . (5.15)
Состояние частицы при квантовом числе , равном единице ( ), называется основным состоянием частицы, а все остальные ее состояния называются возбужденными.
Как видно, выводы классической и квантовой механики при малых значениях квантового числа находятся в резком несоответствии между собой.
Можно показать, что отличие минимального значения энергии частицы от нуля является следствием ее волновых свойств. Действительно, неопределенность координаты частицы в потенциальной яме равна ее ширине , что позволяет из соотношения неопределенностей Гейзенберга провести оценку неопределенности задания импульса частицы . Понятие импульса можно использовать в тех случаях, когда значение импульса будет не меньше погрешности его определения: . Тогда минимальное значение импульса частицы будет равно , что приводит к оценке минимального значения энергии частицы внутри потенциальной ямы
. (5.16)
Полученное из соотношения неопределенностей значение по порядку величины соответствует значению энергии частицы в основном квантовом состоянии ( ), рассчитанному по формуле (5.14).
Обсудим теперь вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы.
В классической механике частица движется равномерно по траектории от одной стенки до другой, и поэтому классическая плотность вероятности обнаружения частицы будет одинаковой во всех точках потенциальной ямы, так как частица одинаковое время находится вблизи любой точки.
Запишем формулу для квантовой плотности вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы
. (5.17)
Из формулы (5.17) следует, что квантовая плотность вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы зависит от координаты и от номера квантового состояния , что не согласуется с движением частицы по траектории. Так, например, для квантового состояния с плотность вероятности на краях потенциальной ямы равна нулю, а в ее середине будет максимальной. Число пиков на зависимости будет равно номеру квантового состояния , а вся площадь под графиками плотности вероятности будет одинаковой и равной единице (рис. 5.6,б).
Вероятность обнаружения частицы в квантовом состоянии внутри потенциальной ямы в области пространства равна площади под графиком соответствующей плотности вероятности и ограниченной по оси абсцисс значениями l1 и l2, а также может быть вычислена по формуле
(5.18)
Итак, движение частицы внутри потенциальной ямы при небольших значениях необходимо описывать в рамках квантовой механики. Однако, при больших значениях квантового числаn возможно применение классической механики при описании движения микрочастицы. Это связано с тем, что при увеличенииn возрастает модуль волнового вектора ( ), следовательно, уменьшается длина волны де Бройля ( ), соответствующая движению частицы, и при некотором значении n будет выполняться условие применимости классической механики для описания движения микрочастицы: << .
Причем для больших nпроисходит относительное сближение энергетических уровней, энергетический спектр становится квазинепрерывным, т.е. дискретным, но дискретностью можно пренебречь по сравнению со значениями энергии квантовых состояний
, .
Большое число максимумов и минимумов на графике зависимости плотности вероятности от координаты (при большом
n) приводит к тому, что усредненное значение < > квантовой плотности вероятности будет совпадать с классическим значением плотности вероятности.
Рассмотренный пример - это пример соответствия выводов квантовой и классической теории при больших значениях квантовых чисел, является частным случаем принципа соответствия, который гласит: при больших значениях квантовых чисел выводы квантовой механики должны соответствовать выводам классической механики.
5.3.2. Туннельный эффект.
Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в соседних областях.
Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частиц с энергией W вдоль оси . Частицы из области 1 налетают на прямоугольный потенциальный барьер (область 2) высотой , причем W< (см. рис. 5.7,а). Необходимо ответить на вопрос: что происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером?
В классической механике все частицы для которых W< , отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновения частиц в области 2 и 3 (область за барьером) нет.
Решение уравнения Шредингера. В квантовой механике чтобы описать движение микрочастиц, при их встрече с потенциальным барьером, необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях (см. рис. 5.7,а) Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей и сразу приведем их решения.
Область 1: ,
.
Область 2: , ,
.
Область 3: ,
, .
Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что оно не носит волнового характера (в показатель экспоненты не входит мнимая единица), т.е. решение нельзя представить в виде гармонической функции синуса или косинуса. Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства. В третьей области пространства отражения нет, поэтому отраженной волны в третьей области не будет.
Рис. 5.7
Полученные в ходе решения уравнения Шредингера для трех областей волновые функции, необходимо «сшить» на границе этих областей, т.е. наложить на волновые функции стандартные условия.
На рис. 5.7,б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты с учетом стандартных условий (условий сшивания), накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из рис. 5.7,б видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера (вторая область) уменьшается с ростом координаты и что вероятность найти микрочастицу в области 3 (область за барьером) будет отлична от нуля.
Анализ полученного решения. При встрече микрочастиц с потенциальным барьером возникает туннельный эффект – явление проникновения частиц сквозь высокий (W< U0) потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера – величина, определяющая вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равен отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Это отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (см. рис. 5.7)
. (5.19)
Как видно из уравнения (5.19), вероятность прохождения частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер зависит от массы частицы ( ), ширины потенциального барьера ( ) и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на барьер частицы ( ).
В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 5.7,в) для коэффициента прозрачности можно получить следующую формулу:
. (5.20)
При выводе формулы (5.20) область потенциального барьера ≤ r ≤ , в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии (см. рис. 5.7,в), разбивается на совокупность прямоугольных потенциальных барьеров. Для каждого из них находится коэффициент прозрачности (i – номер прямоугольного барьера), затем, для определения коэффициента прозрачности всего барьера, коэффициенты перемножаются. Для увеличения точности расчетов ширина прямоугольных потенциальных барьеров стремится к нулю, а их числоi стремится к бесконечности ( ).
Туннельный эффект объясняет многие наблюдаемые на опыте явления, такие например, как – распад ядер, холодную эмиссию электронов из металла и т.д.
Возникает вопрос: почему классическая частица не может проникать внутрь барьера, а микрочастицы имеют такую возможность? Можно привести следующее объяснение. В классической механике в произвольный момент времени точно известны координата и импульс частицы. Это позволяет точно выделить вклады в полную энергию частицы от ее потенциальной и кинетической энергии - . Поэтому в области потенциального барьера, где полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, кинетическая энергия частицы будет меньше нуля ( ). Это невозможно согласно определению кинетической энергии.
В квантовой механике, в соответствии с соотношениями неопределенности Гейзенберга, нельзя одновременно точно задать координаты частицы и ее импульс. Поэтому точное деление полной энергии частицы на ее кинетическую и потенциальную энергии невозможно. Это позволяет частице проникать внутрь потенциального барьера на короткое время.