Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

Колебания – это процессы, характеризующиеся определенной степенью повторяемости во времени (например, качание маятника часов, изменение напряжения в цепи переменного тока). В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему внешних сил различают свободные и вынужденные колебания. Свободные колебания совершаются в системе, предоставленной самой себе после однократного выведения ее из положения равновесия (например, качели). Свободные колебания могут быть незатухающими (в отсутствии трения или сопротивления среды) и затухающими. Вынужденные колебания обусловлены внешним периодическим воздействием (например, колебания иглы швейной машины).

Колебания называют периодическими, если значения описывающих их величин повторяются через одинаковый промежуток времени, называемый периодом Т.

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых описывающие их величины изменяются по закону косинуса (синуса).

2.1. Незатухающие механические колебания

2.1.1.Условия возникновения колебаний

Для возникновения незатухающих гармонических механических колебаний необходимы следующие условия: наличие у системы устойчивого положения равновесия; наличие возмущающего воздействия, выводящего систему из положения равновесия, действие упругой (или квазиупругой) силы, возвращающей систему в положение равновесия.

Квазиупругая сила – сила любой природы, подчиняющаяся закону Гука (т.е. направлена к положению равновесия и прямо пропорциональна смещению тела от положения равновесия). Таким образом, квазиупругая сила описывается законом

(2.1)

где x – смещение тела от положения равновесия; k – коэффициент квазиупругой (упругой) силы.

Примерами систем, в которых происходят гармонические колебания, являются пружинный (рис. 2.1) и математический (рис.2.2) маятники.

Рис. 2.1

Р ассмотрим колебания пружинного маятника. После выведения груза из положения равновесия, груз

начинает двигаться под действием силы упругости, скорость груза постепенно нарастает и в момент прохождения положения равновесия ( ) становится максимальной. Потенциальная энергия пружины полностью переходит в кинетическую энергию груза. При дальнейшем движении груза, скорость его начинает убывать ( , а соответственно и ускорение направлены против смещения) и достигнув точки с координатой груз останавливается. Затем под действием силы упругости груз начинает двигаться в обратную сторону. Коэффициент k,входящий в силу упругости – это коэффициент жесткости пружины.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити длины l, колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 2.2).

Колебания математического маятника будут гармоническими только при малых углах отклонения нити

от положения равновесия. Квазиупругая сила представляет Рис. 2.2

собой проекцию на ось Ох результирующей силы, действующей на груз математического маятника.

Учитывая малые значения угла отклонения ( ) запишем

– значение коэффициента квазиупругой силы в случае математического маятника.

2.1.2. Уравнение незатухающих гармонических колебаний. Основные характеристики незатухающих колебаний (на примере пружинного маятника)

Гармонические колебания происходят в замкнутой механической системе ( = 0), в которой отсутствуют потери энергии на преодоление сил трения и сопротивления, под действием упругой (квазиупругой) силы. Согласно II закону Ньютона

,

Учитывая, что и вводя обозначение , получим

(2.2)

– дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Решения этого дифференциального уравнения имеют вид:

или , (2.3)

где – смещение от положения равновесия в момент времени ; –амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение (взятое по модулю) от положения равновесия; – фаза колебаний – величина, определяющая смещение от положения равновесия в данный момент времени и равная аргументу, стоящему под знаком косинуса (синуса); – начальная фаза колебаний – определяет фазу колебаний в начальный момент времени; – циклическая частота незатухающих колебаний – скалярная физическая величина, численно равная числу полных колебаний, совершенных за секунд.

Для описания колебаний применяют также следующие величины: – период незатухающих колебаний, т.е. минимальный промежуток времени

, через который фаза колебаний принимает одинаковые значения или промежуток времени, за которое совершается одно полное колебание; –частота незатухающих колебаний, численно равная числу полных колебаний, совершенных системой за 1 секунду.

, (2.4)

. (2.5)

В случае пружинного маятника циклическая частота и период незатухающих колебаний равны соответственно:

, , (2.6)

а для математического маятника:

, , (2.7)

При гармонических колебаниях не только смещение, но и скорость, и ускорение меняются с течением времени по гармоническому закону. Пусть смещение тела от положения равновесия изменяется по закону косинуса:

. (2.8)

Запишем выражения для проекций скорости и ускорения тела (м.т.) на ось Ох, совершающего гармонические колебания по закону (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

где и – амплитудные (максимальные) значения скорости и ускорения колеблющегося тела, соответственно.

Графики зависимостей (2.8) – (2.10) при представлены на рис. 2.3

Рис. 2.3

В каждый момент времени система, совершающая гармонические колебания, обладает и кинетической, и потенциальной энергией:

(2.11)

. (2.12)

Полная механическая энергия системы

. (2.13)

При выводе формулы (2.13) учтено, что .

Поскольку на систему действует только консервативная (упругая или квазиупругая) сила, то полная механическая энергия остается постоянной.

На рис. 2.4 приведены графики зависимости кинетической, потенциальной энергии системы, отвечающие зависимостям (2.11), (2.12) при , а также полной энергии.

Отметим, что для потенциальной и кинетической энергий период гармонических колебаний оказывается в два раза меньше, чем для смещения х.

Рис. 2.4

2.2. Сложение гармонических колебаний

2.2.1. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Гармонические колебания можно представить с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением оси x в начальный момент времени, равен начальной фазе колебаний. Проекция вектора на ось в начальный момент времени t = 0 равна .

Рис. 2.5

При вращении конца этого вектора относительно точки О с угловой скоростью его проекция на ось x меняется по гармоническому закону . Такой способ представления гармонических колебаний называют векторной диаграммой или диаграммой вектора амплитуды.

Пусть тело (м.т.) одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении,

причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны ( , )

, (2.14)

(2.15)

Результирующее движение, равное сумме колебаний и , будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты [3]

.

Необходимо найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Это можно сделать с помощью векторной диаграммы. Для этого проведем из точки О векторы с амплитудами А₁ и А₂ под углами и к оси и приведем их во вращение с угловой скоростью (рис.2.6).

Рис. 2.6

Проекции векторов и на ось при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (1.14, 1.15). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось вектора , полученного из векторов и по правилу параллелограмма. Из построения на рис.2.6 следует, что квадрат амплитуды вектора можно найти по теореме косинусов из треугольника ΔОА₂А [3]

, ;

. (2.16)

Из треугольников ΔОА₁В и ΔОАС для начальной фазы результирующего колебания можно найти следующее выражение:

. (2.17)

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга.

3. .

На рис.2.7 приведены результаты сложения гармонических колебаний в рассмотренных выше случаях 1,2 и 3 при условии, что = 0 и

А₁>А₂.

Рис. 2.7

Полученные условия максимального усиления (случай 1) и ослабления (случай 2) колебаний при сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты будут использованы при изучении интерференции когерентных волн [3].

2.2.2. Биения

Биения − это колебания, которые получаются в результате сложения двух гармонических колебаний х₁ и х₂ одного направления с близкими частотами ( >> ) [3]

, , .

Рассмотрим подробнее результат сложения таких колебаний. Для простоты расчетов будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: . Тогда, используя формулу сложения косинусов

,

запишем

. (2.18)

Первый сомножитель в выражении (2.18) изменяется со временем значительно медленнее второго ( ), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой и с изменяющейся со временем амплитудой

. (2.19)

Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания не являются гармоническими колебаниями [3].

В общем случае амплитуда биений изменяется в пределах, заключенных в интервале от до ( ). При этом период изменения амплитуды (период биений ) и циклическая частота биений будут определяться по формулам:

, . (2.20)

На рис. 2.8 приведены графики зависимости амплитуды биений и смещения м.т. от времени t.

Рис. 2.8

Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов, при анализе восприятия звуков человеком. Наглядно биения можно продемонстрировать на опыте, в котором звуковой генератор возбуждает два колебания разной частоты, которые человеческое ухо различает как два отдельных звуковых сигнала. Если сближать частоты этих сигналов, то при некоторой разности частот (она зависит от слухового восприятия конкретного человека) вместо двух сигналов ухо человека будет воспринимать звуковой сигнал одной частоты, амплитуда которого будет изменяться, т.е. в этом случае наблюдаются биения. При дальнейшем сближении частот период биений будет увеличиваться и при совпадении частот сигналов будет слышен звук одной частоты, амплитуда которого не будет изменяться [3].

Биения можно использовать, например, для определения частоты какого-либо гармонического электрического колебания. Для этого на вход осциллографа подают гармонические колебания от звукового генератора (частоту этих колебаний можно изменять) и гармонические колебания с неизвестной частотой от какого-либо источника. По наблюдаемой на экране осциллографа картине биений определяют период биений и частоту колебаний ( ). Знак плюс или минус в записанной формуле определяется следующим образом: если при увеличении частоты генератора период биений, наблюдаемых на экране, увеличивается, то тогда в формуле выбирается знак плюс ( ), в противном случае знак минус ( ) [3].