Файл: Александры Анатольевны.doc

m 3 = 2, m = 1; при m = 1 x₂ = 2;

б) x₁ = 1, еслиm 3 = 1, m = 2; при m = 2 x₂ = 3;

в) x₂ = 2, еслиm + 1 = 2, m = 3; при m = 3 x₁ = 6;

г) x₂ = 1, еслиm + 1 = 1, m = 2; при m = 2 x₁ = 5.

Ответ: при m 0, m3, m2, m 1 x₁ = m 3; x₂ = m + 1;

при m = 0 уравнение не имеет смысла;

при m = 3 x = 6;

при m = 2 x = 5;

при m = 1 x = 2;

при m = 2 x = 3.

12. 
    Для каждого значения параметра a решить уравнение: = 0.
    

(обратите внимание, что в задачах 55, 56 одно требование, но сформулировано оно по-разному)

Решение:

1. 
   Д анное уравнение равносильно системе (x  4)(x + a) = 0; (1)
   

x² (2a  2)x  2a + 1  0. (2)

2. 
   Решим квадратное уравнение (2),
   

D₁ = (a  1)² (2a + 1) = a² 2a + 1 + 2a  1 = a².

а) D₁  0 при любых a; x₁ = a  1  a = 1, x₂ = a  1 + a = 2a  1.

3. 
   Т огда система принимает следующий вид: x = 4,
   

x = a;

x 1,

x  2a  1.

4. 
   И сключим те значения a, при которых: 2a 1 = 4; a = 2,5;
   

a = 1; a = 1;

a = 2a  1, a = .

a = 4, a = 4.

Ответ: при a 4, a  , a

---

 1, a  2,5 x₁ = 4; x₂ = a;

при a = 4, a = , a = 1, x = 4;

при a = 2,5 x = 2,5.

12. 
    При каких значениях a уравнение = 0 имеет единственное решение?
    

Решение:

1. 
   Д анное уравнение равносильно системе x² ax + 1 = 0,
   

x 3.

2. 
   Уравнение имеет один корень, если
   

а) D= 0, но x 3.

D= 0, a² 4 = 0, a =  2.

Проверка: если a = 2, x² + 2x + 1 = 0, x = 1.

если a = 2, x² 2x + 1 = 0, x = 1.

б) Если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.

x₁ = 3, ( 3)²a (3) + 1 = 0,

9 + 3a + 1 = 0;

a =  .

Найдем второй корень (самостоятельно): x₂ =  .

Ответ: a =  ; a = 2; a = 2.

К азбуке квадратного уравнения относится и теорема Виета, позволяющая выяснить для уравнения, имеющего корни, их знаки, сравнить корни по модулю и т.п.

Устные упражнения.

12. 
    Решите уравнение.
    

а) x² 7ax + 12a² = 0; б) x² + 5bx + 6b² = 0; в) 7x² 4ax  3a² = 0;

г) 7x² + 13bx + 6b² = 0; д) x² (3a1)x + 2a² a = 0; е) x² (4b2)x + 3b² 2b = 0.

Далее целесообразно решить серию несложных задач.

12. 
    При каких k произведение корней квадратного уравнения x² + 3x + (k² 7k + 12) равно нулю?
    

Ответ: 3; 4.

12. 
    При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x² + (k² + 4k  5)x  k равна нулю?
    

---

Ответ: 1.

12. 
    При каких значениях p и q корни уравнения x² + px + q = 0 равны 2p и ?
    

Ответ: p = q = 0 или p = 1, q = 6.

Более подробно следует остановиться на задачах такого содержания.

12. 
    При каких значениях a оба корня уравнения x² 2ax + 4 = 0 положительны?
    

Обсуждаем. Для того, чтобы оба корня уравнения были положительны, нужно, во-первых, чтобы оно имело два корня, а для этого необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Во-вторых, так как свободный член положительный, то оба корня имеют одинаковые знаки, а поэтому, чтобы они имели знаки "плюс", нужно, чтобы коэффициент среднего члена был отрицательный.

Разбив требование задачи на указанные две части, мы разбиваем и саму задачу на две более простые:

1. 
   При каких значениях a дискриминант уравнения положительный?
   
2. 
   При каких значениях a коэффициент среднего члена уравнения отрицательный?
   

Решение:

1. 
   D= a² 4, a² 4  0, a² 4, a 2, a 2 или a  2.
   
2. 
   2a  0, a  0.
   
3. 
    a 2,
   

 a  2; a  2.

a  0.

Ответ: a  2.

12. 
    При каких значениях параметра a уравнение ax² 4x + a = 0 имеет:
    

а) положительные корни;

б) отрицательные корни;

в) корень, равный нулю?

Ответ: а) 0  a  2; б) 2  a  0; в) a = 0.

12. 
    В уравнении x² + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней равнялась единице.
    

Решение: x₂ x₁ = = 1, a =  7.

Ответ: a =  7.

Разнообразны задачи с применением формул сокращенного умножения.

12. 
    Корниуравнения x² 3ax + a² = 0 таковы, что x₁ ²+ x₂ ² = 112. Найти a.
    

---

Решение:

1. 
   D= 9a² 4a² = 5a², D  0 при любых a.
   
2. 
   x ₁ + x₂ = 3a;
   

x₁ x₂ = a².

3. 
   x₁²+ x₂² = (x₁ + x₂)² 2x₁ x₂ = (3a)² 2a² = 7a² = 112; a² = 16, a =  4.
   

Ответ:  4.

12. 
    В уравнении 3x² + ax + 2 = 0 определить a таким образом, чтобы корни уравнения были действительными, а сумма кубов корней равнялась удвоенной сумме корней.
    

Решение:

1. 
   D  0, D= a² 24;
   

a² 24  0, a² 24; a 2 .

2. 
   x ₁ + x₂ =  ;
   

x₁ x₂ = .

3. 
   x₁³+ x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁²+ x₂² x₁ x₂) = (x₁ + x₂)((x₁+ x₂)²  3x₁ x₂) =  (  2).
   
4. 
    (  2) =  a; a(  4) = 0; a = 0; a =  6.
   
5. 
   0 2 ;  6 2 .
   

---

Ответ:  6.

12. 
    Пусть x₁ и x₂– корниуравнения x² + px + q = 0. Выразить x₁⁴+ x₂⁴ через p и q.
    

Решение:

1. 
   x ₁ + x₂ =  p;
   

x₁ x₂ = q.

2. 
   x₁⁴+ x₂⁴ = (x₁²+ x₂²)² 2x₁²x₂² = ((x₁ + x₂)² 2x₁ x₂)² 2x₁²x₂² = (p² – 2q²)² – 2q² = = p⁴ – 4p²q² + 2q².
   

Ответ: p⁴ – 4p²q² + 2q².

12. 
    При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x² + (m  1)x + m² 1,5 = 0 наибольшая?
    

Ответ: –1.

12. 
    При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x² + (2  m)x + m  3 = 0 наименьшая?
    

Ответ: 1.

Учащиеся должны самостоятельно уметь решать задачи типа 59, 62, 65. Задачи такого типа целесообразно включать как обязательный материал в текущие самостоятельные и контрольные работы.

Итоги работы за год покажет большая проверочная работа, в которую включены задачи, аналогичные ключевым по всем темам.

9 класс.

Основная цель работы в 9 классе – тщательно изучить квадратный трехчлен и квадратные неравенства. Учащиеся 9 класса уже готовы к серьезной исследовательской работе, поэтому излагать новый материал можно в виде проблемного диалога между учениками и учителем.
Квадратичная функция и ее график.
При изучении графиков функций y = ax² + nиy = a(x – m)² в устную и письменную работу полезно включать задачи такого содержания.

12. 
    Найдите количество целых значений а, при которых абсцисса и ордината вершины параболы y = (x– 5 – a)² + 3 – a положительны.
    

---