Файл: Александры Анатольевны.doc

x = x = .

Ответ: при a  2 корней нет;

при a = 2, 1 x 3;

при a  2, x₁ = ; x₂ = .

Рассмотрим более сложный, но доступный восьмикласснику пример.

12. 
    Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение x + 2 = ax + 1?
    

Решение:

При x = 0 получаем 0 + 2 = a 0 + 1, т.е. x = 0 не является корнем уравнения ни при каких значениях параметра a.

Преобразуем уравнения с учетом, что x 0.

= a.

Построим графики функций y = и y = a.

y = = 1 + приx2,

1 – при x2.

График функции y = + 1  гипербола y = , сдвинутая на 1 вверх по 0y.

График функции y = –  1  гипербола y = – , сдвинутая на 1 вниз по 0y.

При различных значениях параметра aграфиками функций y = a являются прямые, параллельные оси абсцисс.



При a1 иa 1 графики

---

имеют одну общую точку пересечения, уравнение имеет один корень;

При 1a ½ точек пересечения две, уравнение имеет два корня;

При ½ a 1 точек пересечения нет, уравнение корней не имеет;

При a = ½ один корень.

Ответ: при a1 один корень;

при 1a ½ два корня;

при a = ½ один корень;

при ½ a 1 корней нет;

при a 1 один корень.

Пока мы не формулируем четкий алгоритм применения графического метода, только лишь устно составляем план решения задачи. Рассмотрение же таких задач с восьмиклассниками считаю необходимым, иначе в 10-11 классах при подготовке к экзаменам придется начинать все сначала, значит, теряется драгоценное время, ведь восстанавливать материал гораздо легче, чем изучать заново.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

Основная цель: сформировать умение решать элементарные линейные неравенства с параметрами.

В первую очередь расширим определение линейного неравенства.

Каждое из неравенств вида

AxB, AxB, AxB, AxB,

где Aи B – действительные числа или функции от параметров, а x– неизвестная величина, называется линейным неравенством с одним неизвестным (x).

Рассмотрим простейший пример:

12. 
    Решить неравенство ax 1.
    

Невнимательный ученик быстро дает ответ x  .Тогда следует попросить его подставить вместо aразличные значения и проверить, всегда ли совпадает решение с общим видом. Сделав соответствующие замечания, вызвать ученика к доске с просьбой составить блок-схему решения этого неравенства.
ax  1

---

a  0a = 0a  0

ax  1 0x  1 ax  1




x  x – любое число x 

Учитель задает по заданию такие вопросы: "Каким будет решение, если вместо числа 1 записать ? вместо знака  записать знак ?" и т.п. Ученики активно анализируют ответы своих одноклассников.

Затем учащиеся получают задание по вариантам составить блок-схемы к решению неравенств AxB, AxB, AxB, AxB. В тетрадях записываем словесное описание алгоритма.

Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами

На примере неравенства Ax  B,где x – неизвестное,

A, B – выражения, зависящие только от параметров)

1. 
   Если A  0, то x  .
   

Решением неравенства являются все числа из промежутка ( ).

2. 
   а) Если A = 0, B  0
   

0 x B, x – любое число.

Решением неравенства является промежуток ( + ).

б) Если A = 0, B = 0

0 x  0, решений нет.

в) Если A = 0, B  0

0 x B, решений нет.

3. 
   Если A  0, то x  .
   

Решением неравенства является промежуток ( ).

Так как учащиеся еще не знакомы с методом интервалов, то выбор заданий по этой теме весьма ограничен. На этом этапе работы будет достаточно, если школьники усвоят решение простейших ключевых неравенств.

12. 
    Решить неравенство (m – 1)x  5m.
    

---

Решение:

1. 
   Если m – 1  0, m  1, то x  .
   
2. 
   Если m – 1 = 0, m = 1, получим
   

0 x 5, x – любое число.

3. 
   Если m – 1  0, m  1, то x  .
   

Ответ: при m  1, x  ;

при m = 1, x – любое число;

при m 1, x ..

Несущественно, будут ли значения m и x записаны в форме неравенства или промежутка.

12. 
    2ax + 5 a + 10x,
    

2ax – 10x  a – 5,

(2a – 10)x  a – 5,

2(a – 5)x  a – 5.

1. 
   Если 2(a – 5)  0, a – 5  0, a  5, то x  ; x  .
   
2. 
   Если 2(a – 5) = 0, a – 5 = 0, a = 5, то
   

0 x 0, решений нет.

3. 
   Если 2(a – 5)  0, a – 5  0, a  5, то x  ; x  .
   

Ответ: при a 5, x ;

при a = 5, решений нет;

при a  5, x  .

12. 
    mx – 6 2m – 3x,
    

mx + 3x  2m + 6,

(m + 3)x  2(m + 3).

1. 
   Если m+3  0, m3, то x ; x 2.
   
2. 
   Если m+3 = 0, m = 3, то
   

0 x 0, x – любое число.

3. 
   Если m+3  0, m3, то x ; x 2.
   

---

Ответ: при m3, x 2;

при m = 3, x – любое число;

при m3, x 2.
Формальное решение неравенств 17, 18 приводит к распространенной ошибке, которая сводится к делению левой и правой частей неравенства на выражение, содержащее переменную, а это приводит к потере решений и коротким ответам.

Неправильно: x(m + 3)  2(m + 3), x 2.

12. 
    5x – a ax – 3.
    

Ответ: при a  5, x  ;

при a = 5, решений нет;

при a  5, x  .

---