Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

Только в этом случае выполняется условие (3.18). На рис. 3.5, а,б, приведены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых систем. Если годограф про­ходит через начало координат (рис.3.5, в), то система находится на границе устойчивости.

Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если годограф Михайлова, начавшись на действительной оси при ω = 0, несколько раз последовательно пересекает действительную и мнимую ось. Значения ω, при которых происходят эти пересечения, являются действительными положительными корнями уравнения Y(ω) = 0 (при пересечении с действительной осью) и уравнения Х(ω) = 0 (при пересечении с мнимой осью). Следовательно, оценить устойчивость системы можно и без построения годографа: достаточно, чтобы корни указанных уравнений чередовались друг с другом.

На практике более широ­кое применение, по сравнению с критерием Михайлова, нашел частотный критерий Найквиста, который позво­ляет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам этой системы в разомкнутом состоянии.

Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью. Первоначально будем полагать, что соответствующая ей разомкнутая система устойчива. Пусть передаточная функция этой системы в разомкнутом состоянии

W(p) =

имеет n-й порядок, т.е. число ее полюсов (порядок полиномаA(р)) равноn. На основании принципа физической реализуемости можно утверждать, что число нулей передаточной функцииW(p) (порядок полиномаВ(р)) не превышает n. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

Ф(р) ==.

Введем в рассмотрение выражение:

D(p) =1 +W(p) = .(3.19)

Очевидно, что число нулей и полюсов выражения D(p) одинаково и равно n. При этом числитель выражения (3.19) является характеристическим полиномом замкнутой системы, а знаменатель – характерис­тическим полиномом разомкнутой системы. Осуществим в выражении (3.19) замену p на jω:

D(jω) = (3.18)

и определим из­менение аргумента (3.20), полагая, что замкнутая система устойчива. Поскольку в этом случае в соответствии с принципом аргумента

В(jω) = n∙π/2 и (А(jω) + В(jω)) = n∙π/2,

то

D(jω) = (А(jω) + В(jω)) – В(jω) = 0.

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая систе­мы устойчивы, то изменение аргумента D(jω) равно нулю, следовательно, годограф D(jω) не охватывает начала координат (рис. 3.6, а).

Впротивном случае, когда годограф охватывает начало координат, изме­нение его аргумента не равно нулю и система в замкну­том состоянии неустойчива.

Очевидно, что об изменении аргумента вектора удобнее судить не по годографу D(jω) , а по годографу амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W(jω). Поскольку D(jω) = 1 + W(jω), изменение аргумента D(jω) будет рав­но нулю, если годограф амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы не охватывает точку с ко­ординатами (-1, j0) (рис. 3.6, б).

Отсюда следует формулировка критерия Найквиста: система, устойчивая в разомкнутом состояние, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охва­тывает точку с координатами (-1, j0). В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Если САУ содержит ν интегрирующих звеньев, то начальное значение фазочастотной характеристики разомкнутой системы равно (-ν∙π/2), а амплитудно-частотной – бесконечности. Поэтому,

• если ν =1, характеристика W(jω) при ω → 0 уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси;

• если ν = 2 – вдоль отрицательной действительной полуоси;

• если ν = 3 – вдоль положительной мнимой полуоси.

Для удобства оценки устойчивости таких астатических систем годограф W(jω) дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси и проводимой до пересечения с годографом W(jω) (рис. 3.7). Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф W(jω) разомкнутой системы проходят через точку (1, j0), то система в замкну­том состоянии находится на границе устойчивости.

Рассмотрим случай, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет m правых полюсов. Полагая, что при замыкании обратной связи система становится устойчивой, в соответствии с принципом аргумента получаем:

В(jω) = (n –2m)∙π/2 и (А(jω) + В(jω)) = n∙π/2,

При этом изменение аргумента D(jω) равно:

D(jω) = (А(jω) + В(jω)) – В(jω) = n∙π/2 – (n –2m)∙π/2 = m∙π = 2π∙ m/2.

Следовательно, система в замк­нутом состоянии будет устойчивой, если годограф час­тотной характеристики D(jω) m/2 раз охватывает начало координат, а соответственно годограф амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы W(jω) m/2 раз охва­тывает точку с координатами (-1,j0), где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Годограф амплитудно-фазовой характеристики W(jω) реальной технической системы может иметь достаточно сложную форму (рис. 3.8).

Вэтом случае сложно определить, сколько раз годографW(jω) охватывает начало координат. Задача упрощается, если ввести в рассмотрение понятие перехода годографа W(jω) через действительную ось, т.е. пересечение графиком W(jω) действительной оси левее точки с координатами (-1, j0). Перехода годографа W(jω) через действительную ось считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение оси происходит сверху вниз (годограф переходит из второго квадранта в третий), в противном случае переход считается отрицательным.

Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов m_- . Тогда критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован так: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.

m₊ – m_- = m/2, (3.21)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива (m = 0) условие устойчивости системы при ее замыкании упрощается:

m₊ – m_- = 0. (3.22)

3.4.Запасы устойчивости

Впроцессе эксплуатации САУ ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за из­менения внешних условий, колебаний напряжений источ­ников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то исходная устойчивая система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить опреде­ленныезапасы устойчивости системы, которые характе­ризуют близость годографа амплитудно-фазовой характе­ристики разомкнутой системы W(jω) к точке с координатами (-1, j0).

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ω_с отлича­ется от -π (рис. 3.9):

Δφ = π – .

Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ω_кр, как разность:

= 1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α = 1/ |W(jω_кр)|.

Во втором случае величина запаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1, j0), то систему называют услов­но устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.